giải chi tiết đúng sai

Câu 1. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần một. Phần a) Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì \( m > 4 \) Hàm số \( y = \frac{-x^2 + 2(m+1)x - 5}{x-1} \). Đầu tiên, ta tìm đạo hàm của hàm số này: \[ y' = \left( \frac{-x^2 + 2(m+1)x - 5}{x-1} \right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(-2x + 2(m+1))(x-1) - (-x^2 + 2(m+1)x - 5)}{(x-1)^2} \] \[ y' = \frac{-2x^2 + 2x + 2(m+1)x - 2(m+1) + x^2 - 2(m+1)x + 5}{(x-1)^2} \] \[ y' = \frac{-x^2 + 2x - 2(m+1) + 5}{(x-1)^2} \] \[ y' = \frac{-x^2 + 2x - 2m - 2 + 5}{(x-1)^2} \] \[ y' = \frac{-x^2 + 2x - 2m + 3}{(x-1)^2} \] Để hàm số có cực đại và cực tiểu, đạo hàm \( y' \) phải có hai nghiệm phân biệt: \[ -x^2 + 2x - 2m + 3 = 0 \] Phương trình này có hai nghiệm phân biệt khi: \[ \Delta = 4 - 4(-2m + 3) > 0 \] \[ 4 + 8m - 12 > 0 \] \[ 8m - 8 > 0 \] \[ m > 1 \] Tuy nhiên, để đảm bảo rằng hàm số có cực đại và cực tiểu, ta cần kiểm tra thêm điều kiện \( m > 4 \). Do đó, phần a) đúng. Phần b) Khi \( m = 0 \) thì đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là \( y = -x + 1 \) Khi \( m = 0 \): \[ y = \frac{-x^2 + 2x - 5}{x-1} \] Ta thực hiện phép chia đa thức: \[ y = -x + 1 + \frac{-4}{x-1} \] Tiệm cận xiên của hàm số là \( y = -x + 1 \). Do đó, phần b) đúng. Phần c) Khi \( m = 0 \) thì đồ thị hàm số không cắt Ox Khi \( m = 0 \): \[ y = \frac{-x^2 + 2x - 5}{x-1} \] Để tìm giao điểm với trục Ox, ta đặt \( y = 0 \): \[ \frac{-x^2 + 2x - 5}{x-1} = 0 \] Phương trình này có nghiệm khi: \[ -x^2 + 2x - 5 = 0 \] Phương trình này không có nghiệm thực vì: \[ \Delta = 4 - 20 < 0 \] Do đó, đồ thị hàm số không cắt trục Ox. Phần c) đúng. Phần d) Tồn tại 1 điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho \( x_M > 1 \) và độ dài IM ngắn nhất (II là tâm đối xứng của (C)) khi đó tung độ \( y_M < -4 \) Tâm đối xứng của đồ thị \( (C) \) là \( I(1, -1) \). Độ dài \( IM \) ngắn nhất khi \( M \) nằm trên đường thẳng đi qua \( I \) và vuông góc với tiệm cận xiên. Tiệm cận xiên là \( y = -x + 1 \), nên đường thẳng vuông góc với nó có dạng \( y = x + c \). Khi \( x_M > 1 \), ta cần tìm điểm \( M \) sao cho \( y_M < -4 \). Vì \( y = -x + 1 \) là tiệm cận xiên, khi \( x \to \infty \), \( y \to -\infty \). Do đó, tồn tại điểm \( M \) sao cho \( y_M < -4 \). Phần d) đúng. Kết luận Tất cả các phần a), b), c), d) đều đúng. Câu 2. Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Khẳng định a) Vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) là: \[ v(2) = -3(2)^2 + 12(2) + 1 = -3 \cdot 4 + 24 + 1 = -12 + 24 + 1 = 13 \, \text{(m/s)} \] Như vậy, khẳng định a) là sai vì \( v(2) = 13 \, \text{(m/s)} \), không phải 1 m/s. Khẳng định b) Quãng đường chuyển động của chất điểm trong 5 giây đầu tiên là: \[ s(5) = \int_{0}^{5} v(t) \, dt = \int_{0}^{5} (-3t^2 + 12t + 1) \, dt \] Tính tích phân: \[ \int (-3t^2 + 12t + 1) \, dt = -t^3 + 6t^2 + t + C \] Áp dụng cận trên và cận dưới: \[ s(5) = \left[ -t^3 + 6t^2 + t \right]_0^5 = \left( -(5)^3 + 6(5)^2 + 5 \right) - \left( -(0)^3 + 6(0)^2 + 0 \right) \] \[ = \left( -125 + 150 + 5 \right) - 0 = 30 \, \text{(m)} \] Như vậy, khẳng định b) là đúng vì quãng đường chuyển động của chất điểm trong 5 giây đầu tiên là 30 m. Khẳng định c) Vận tốc lớn nhất của chất điểm trong 5 giây đầu tiên: Để tìm vận tốc lớn nhất, ta cần tìm cực đại của hàm \( v(t) = -3t^2 + 12t + 1 \). Tìm đạo hàm của \( v(t) \): \[ v'(t) = -6t + 12 \] Đặt \( v'(t) = 0 \): \[ -6t + 12 = 0 \] \[ t = 2 \] Kiểm tra tính chất của đạo hàm ở hai bên điểm \( t = 2 \): - Khi \( t < 2 \), \( v'(t) > 0 \) (hàm tăng) - Khi \( t > 2 \), \( v'(t) < 0 \) (hàm giảm) Do đó, \( t = 2 \) là điểm cực đại của \( v(t) \). Ta đã tính \( v(2) = 13 \, \text{(m/s)} \) ở khẳng định a). Như vậy, khẳng định c) là sai vì vận tốc lớn nhất của chất điểm trong 5 giây đầu tiên là 13 m/s, không phải 3 m/s. Kết luận - Khẳng định a) là sai. - Khẳng định b) là đúng. - Khẳng định c) là sai.