giải chi tiết đúng sai 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $AA^\prime=2a.$,a) Khoảng cách giữa BD và CD' bằng $\frac a3.$,b) Độ dài A'C bằng $a\sqrt3.$,c) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') bằng a.,d) Khoảng cách giữa B'D' và AC bằng 2a ,$x-2024~y\_z+2025$ và mặt phẳng

Question

Accepted Answer

a) Khoảng cách giữa BD và CD' bằng $\frac a3.$

Để kiểm tra khoảng cách giữa BD và CD', ta cần tìm khoảng cách giữa đường thẳng BD và đường thẳng CD'. Ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải quyết vấn đề này.

Chọn hệ tọa độ sao cho:
- A(0, 0, 0)
- B(a, 0, 0)
- C(a, a, 0)
- D(0, a, 0)
- A'(0, 0, 2a)
- B'(a, 0, 2a)
- C'(a, a, 2a)
- D'(0, a, 2a)

Đường thẳng BD có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{BD} = (-a, a, 0)$.
Đường thẳng CD' có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{CD'} = (-a, 0, 2a)$.

Ta cần tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng này. Ta có thể sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
$$ d = \frac{|\overrightarrow{BC} \cdot (\overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{CD'})|}{|\overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{CD'}|} $$

Trước tiên, tính $\overrightarrow{BC} = (0, a, 0)$.

Tính tích vector $\overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{CD'}$:
$$ \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{CD'} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-a & a & 0 \
-a & 0 & 2a
\end{vmatrix} = (2a^2, 2a^2, a^2) $$

Tính $\overrightarrow{BC} \cdot (\overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{CD'})$:
$$ \overrightarrow{BC} \cdot (2a^2, 2a^2, a^2) = (0, a, 0) \cdot (2a^2, 2a^2, a^2) = 2a^3 $$

Tính độ dài $\overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{CD'}$:
$$ |\overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{CD'}| = \sqrt{(2a^2)^2 + (2a^2)^2 + (a^2)^2} = \sqrt{4a^4 + 4a^4 + a^4} = \sqrt{9a^4} = 3a^2 $$

Khoảng cách giữa BD và CD':
$$ d = \frac{|2a^3|}{3a^2} = \frac{2a^3}{3a^2} = \frac{2a}{3} $$

Vậy khoảng cách giữa BD và CD' là $\frac{2a}{3}$, không phải $\frac{a}{3}$. Do đó, câu a) sai.

b) Độ dài A'C bằng $a\sqrt3.$

Để kiểm tra độ dài A'C, ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:
$$ A'C = \sqrt{(a - 0)^2 + (a - 0)^2 + (2a - 0)^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + 4a^2} = \sqrt{6a^2} = a\sqrt6 $$

Vậy độ dài A'C là $a\sqrt6$, không phải $a\sqrt3$. Do đó, câu b) sai.

c) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') bằng a.

Để kiểm tra khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B'), ta cần viết phương trình mặt phẳng (BCC'B') và sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Phương trình mặt phẳng (BCC'B'):
- Điểm B(a, 0, 0)
- Điểm C(a, a, 0)
- Điểm C'(a, a, 2a)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCC'B') là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BC'} = (0, a, 0) \times (0, a, 2a) = (2a^2, 0, 0)$.

Phương trình mặt phẳng (BCC'B') là:
$$ 2a^2(x - a) = 0 \Rightarrow x = a $$

Khoảng cách từ điểm A(0, 0, 0) đến mặt phẳng x = a:
$$ d = \frac{|a - 0|}{\sqrt{1}} = a $$

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') là a. Do đó, câu c) đúng.

d) Khoảng cách giữa B'D' và AC bằng 2a.

Để kiểm tra khoảng cách giữa B'D' và AC, ta cần tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng này. Ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải quyết vấn đề này.

Đường thẳng B'D' có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{B'D'} = (-a, a, 0)$.
Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AC} = (a, a, 0)$.

Ta cần tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng này. Ta có thể sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
$$ d = \frac{|\overrightarrow{AB'} \cdot (\overrightarrow{B'D'} \times \overrightarrow{AC})|}{|\overrightarrow{B'D'} \times \overrightarrow{AC}|} $$

Trước tiên, tính $\overrightarrow{AB'} = (a, 0, 2a)$.

Tính tích vector $\overrightarrow{B'D'} \times \overrightarrow{AC}$:
$$ \overrightarrow{B'D'} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-a & a & 0 \
a & a & 0
\end{vmatrix} = (0, 0, -2a^2) $$

Tính $\overrightarrow{AB'} \cdot (\overrightarrow{B'D'} \times \overrightarrow{AC})$:
$$ \overrightarrow{AB'} \cdot (0, 0, -2a^2) = (a, 0, 2a) \cdot (0, 0, -2a^2) = -4a^3 $$

Tính độ dài $\overrightarrow{B'D'} \times \overrightarrow{AC}$:
$$ |\overrightarrow{B'D'} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-2a^2)^2} = 2a^2 $$

Khoảng cách giữa B'D' và AC:
$$ d = \frac{|-4a^3|}{2a^2} = \frac{4a^3}{2a^2} = 2a $$

Vậy khoảng cách giữa B'D' và AC là 2a. Do đó, câu d) đúng.

Kết luận:
- a) Sai
- b) Sai
- c) Đúng
- d) Đúng