Câu 7.
Để xác định tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm tập xác định của hàm số:
Hàm số có mẫu số là . Để hàm số có nghĩa, ta yêu cầu:
Vậy tập xác định của hàm số là .
2. Tính đạo hàm của hàm số:
Ta có:
Tính đạo hàm của tử và mẫu:
Thay vào công thức đạo hàm của thương:
Rút gọn biểu thức:
3. Xác định dấu của đạo hàm:
Ta thấy rằng với mọi . Do đó, dấu của phụ thuộc vào dấu của .
Xét tam thức bậc hai :
Vì , tam thức luôn dương với mọi .
Do đó, với mọi .
4. Kết luận về tính chất đồng biến và nghịch biến:
Vì với mọi , hàm số là hàm số đồng biến trên cả tập xác định của nó, tức là trên các khoảng và .
Do đó, phát biểu đúng là:
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
Đáp án: A. Hàm số đồng biến trên khoảng
Câu 8.
Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số dựa vào đạo hàm , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định dấu của đạo hàm:
Ta có .
Vì với mọi , nên với mọi .
2. Phân tích tính chất đồng biến/nghịch biến:
- Nếu với mọi , thì hàm số là hàm số đồng biến trên .
Do đó, vì với mọi , hàm số là hàm số đồng biến trên khoảng .
Vậy mệnh đề đúng là:
C. Hàm số đồng biến trên khoảng .
Câu 9.
Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số , ta cần tìm các khoảng mà đạo hàm nhỏ hơn 0.
Ta có:
Để tìm các khoảng mà , ta giải bất phương trình:
Phương pháp giải:
1. Tìm các điểm mà :
2. Xác định dấu của trong các khoảng được xác định bởi các điểm và :
- Khi : Chọn , ta có
- Khi : Chọn , ta có
- Khi : Chọn , ta có
Từ đó, ta thấy rằng trong khoảng .
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .
Đáp án đúng là: .
Câu 10.
Để xác định tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số dựa vào đạo hàm , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm các điểm cực trị:
Ta giải phương trình :
Điều này dẫn đến các nghiệm:
2. Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng:
- Trên khoảng : Chọn , ta có . Do đó, trên .
- Trên khoảng : Chọn , ta có . Do đó, trên .
- Trên khoảng : Chọn , ta có . Do đó, trên .
- Trên khoảng : Chọn , ta có . Do đó, trên .
3. Kết luận về tính chất đồng biến và nghịch biến:
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng và .
- Hàm số đồng biến trên các khoảng và .
Do đó, mệnh đề đúng là:
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng và .
Đáp án: A.
Câu 11.
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào có đạo hàm .
Trong bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm chuyển từ dương sang âm tại điểm cực đại . Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng .
Vậy đáp án đúng là:
Câu 12.
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số , ta có thể xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số như sau:
- Trên khoảng , hàm số đồng biến.
- Trên khoảng , hàm số nghịch biến.
- Trên khoảng , hàm số đồng biến.
Do đó, mệnh đề đúng là:
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng .
Đáp án: B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng .