Giải câu này chi tiết giúp tôi Câu 3: Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không,gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho,trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , có bốn vệ,tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(3;1;0),~B(3;6;6),~C(4;6;2),~D(6;2;14);$ vị trí $M(a;b;c)$ thỏa mãn $MA=3,$,$MB=6,MC=5,MD=13.$,Khoảng cách từ điểm M đến điểm O bằng bao nhiêu?,Lời giải,Ta có:,$\left\{\begin{array}{l}MA=3\MB=6\MC=5\MD=13\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}(a-3)^2+(b-1)^2+c^2=9\(a-3)^2+(b-6)^2+(c-6)^2=36\(a-4)^2+(b-6)^2+(c-2)^2=25\(a-6)^2+(b-2)^2+(c-14)^2=169\end{array}\right.$,$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}a^2+b^2+c^2-6a-2b=-1\a^2+b^2+c^2-6a-12b-12c=-45\a^2+b^2+c^2-8a-12b-4c=-31\a^2+b^2+c^2-12a-4b-28c=-67\end{array}\right.$,Đặt $d=a^2+b^2+c^2$ ta được:,$\left\{\begin{array}{c}d-6a-2b=-1\d-6a-12b-12c=-45\d-8a-12b-4c=-31\d-12a-4b-28c=-67\end{array}\right.$,Giải hệ phương trình này, ta tìm được $a=1,b=2,c=2,d=9\Rightarrow M(1;2;2)$,Do đó, khoảng cách từ điểm M đến điểm O là: $OM=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt d=3$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 3:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định các phương trình từ các điều kiện đã cho:
   - $ MA = 3 $
   - $ MB = 6 $
   - $ MC = 5 $
   - $ MD = 13 $

2. Viết các phương trình theo công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:
   $$
   \begin{cases}
   (a-3)^2 + (b-1)^2 + c^2 = 9 \
   (a-3)^2 + (b-6)^2 + (c-6)^2 = 36 \
   (a-4)^2 + (b-6)^2 + (c-2)^2 = 25 \
   (a-6)^2 + (b-2)^2 + (c-14)^2 = 169
   \end{cases}
   $$

3. Rаскрываем скобки и приводим подобные члены:
   $$
   \begin{cases}
   a^2 - 6a + 9 + b^2 - 2b + 1 + c^2 = 9 \
   a^2 - 6a + 9 + b^2 - 12b + 36 + c^2 - 12c + 36 = 36 \
   a^2 - 8a + 16 + b^2 - 12b + 36 + c^2 - 4c + 4 = 25 \
   a^2 - 12a + 36 + b^2 - 4b + 4 + c^2 - 28c + 196 = 169
   \end{cases}
   $$
   $$
   \begin{cases}
   a^2 + b^2 + c^2 - 6a - 2b = -1 \
   a^2 + b^2 + c^2 - 6a - 12b - 12c = -45 \
   a^2 + b^2 + c^2 - 8a - 12b - 4c = -31 \
   a^2 + b^2 + c^2 - 12a - 4b - 28c = -67
   \end{cases}
   $$

4. Пусть $ d = a^2 + b^2 + c^2 $. Тогда система уравнений примет вид:
   $$
   \begin{cases}
   d - 6a - 2b = -1 \
   d - 6a - 12b - 12c = -45 \
   d - 8a - 12b - 4c = -31 \
   d - 12a - 4b - 28c = -67
   \end{cases}
   $$

5. Решаем систему уравнений для нахождения значений $ a, b, c $ и $ d $:
   - Из первого уравнения: $ d = 6a + 2b - 1 $
   - Подставляем в остальные уравнения:
     $$
     \begin{cases}
     6a + 2b - 1 - 6a - 12b - 12c = -45 \
     6a + 2b - 1 - 8a - 12b - 4c = -31 \
     6a + 2b - 1 - 12a - 4b - 28c = -67
     \end{cases}
     $$
     $$
     \begin{cases}
     -10b - 12c = -44 \
     -2a - 10b - 4c = -30 \
     -6a - 2b - 28c = -66
     \end{cases}
     $$
     $$
     \begin{cases}
     5b + 6c = 22 \
     a + 5b + 2c = 15 \
     3a + b + 14c = 33
     \end{cases}
     $$

6. Решаем систему линейных уравнений:
   - Из первого уравнения: $ b = \frac{22 - 6c}{5} $
   - Подставляем во второе уравнение:
     $$
     a + 5 \left( \frac{22 - 6c}{5} \right) + 2c = 15 \implies a + 22 - 6c + 2c = 15 \implies a - 4c = -7 \implies a = 4c - 7
     $$
   - Подставляем в третье уравнение:
     $$
     3(4c - 7) + \frac{22 - 6c}{5} + 14c = 33 \implies 12c - 21 + \frac{22 - 6c}{5} + 14c = 33
     $$
     Умножаем все на 5:
     $$
     60c - 105 + 22 - 6c + 70c = 165 \implies 124c - 83 = 165 \implies 124c = 248 \implies c = 2
     $$
   - Находим $ b $:
     $$
     b = \frac{22 - 6 \cdot 2}{5} = \frac{22 - 12}{5} = 2
     $$
   - Находим $ a $:
     $$
     a = 4 \cdot 2 - 7 = 8 - 7 = 1
     $$
   - Находим $ d $:
     $$
     d = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9
     $$

7. Находим расстояние от точки $ M $ до точки $ O $:
   $$
   OM = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{d} = \sqrt{9} = 3
   $$

Đáp số: Khoảng cách từ điểm M đến điểm O là 3.