Sbuseb e sbsbdbđhhsjđu Câu 20,Hai quả bóng bay được thả lên cùng một địa,điểm. Sau một khoảng thời gian, quả bóng thứ,nhất nằm cách địa điểm xuất phát 200m về,hướng Đông và 200m về hướng Nam, đồng,thời cách mặt đất 50m; quả bóng thứ hai nằm,cách địa điểm xuất phát 100m về hướng Tây,và 100m về hướng Bắc, đồng thời cách mặt,đất 40m. Cùng thời điểm đó, một người đứng,trên mặt đất quan sát thấy hai quả bóng này.,Biết rằng so với các vị trí quan sát trên mặt,đất, vị trí người đứng có tổng khoảng cách đến,hai quả bóng bay là nhỏ nhất. Tính khoảng,cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm thả,hai quả bóng bay này (Đơn vị: mét) (Kết quả,làm tròn đến hàng đơn vị).

Question

Accepted Answer

Câu 20
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ để xác định vị trí của hai quả bóng bay và tìm vị trí người quan sát sao cho tổng khoảng cách đến hai quả bóng bay là nhỏ nhất.

Bước 1: Xác định tọa độ của hai quả bóng bay.
- Quả bóng thứ nhất có tọa độ $(200, -200, 50)$.
- Quả bóng thứ hai có tọa độ $(-100, 100, 40)$.

Bước 2: Tìm tọa độ của điểm người quan sát.
Gọi tọa độ của người quan sát là $(x, y, 0)$ (vì người đứng trên mặt đất).

Bước 3: Viết phương trình tổng khoảng cách từ người quan sát đến hai quả bóng bay.
- Khoảng cách từ người quan sát đến quả bóng thứ nhất:
$$ d_1 = \sqrt{(x - 200)^2 + (y + 200)^2 + 50^2} $$
- Khoảng cách từ người quan sát đến quả bóng thứ hai:
$$ d_2 = \sqrt{(x + 100)^2 + (y - 100)^2 + 40^2} $$

Tổng khoảng cách:
$$ D = d_1 + d_2 = \sqrt{(x - 200)^2 + (y + 200)^2 + 50^2} + \sqrt{(x + 100)^2 + (y - 100)^2 + 40^2} $$

Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc phương pháp hình học. Ở đây, ta sẽ sử dụng phương pháp hình học.

Ta nhận thấy rằng tổng khoảng cách từ một điểm đến hai điểm cố định nhỏ nhất khi điểm đó nằm trên đường thẳng nối hai điểm cố định. Do đó, ta sẽ tìm giao điểm của đường thẳng nối hai quả bóng bay với mặt đất.

Bước 5: Tìm giao điểm của đường thẳng nối hai quả bóng bay với mặt đất.
Phương trình đường thẳng nối hai quả bóng bay:
$$ \frac{x - 200}{-100 - 200} = \frac{y + 200}{100 + 200} = \frac{z - 50}{40 - 50} $$
$$ \frac{x - 200}{-300} = \frac{y + 200}{300} = \frac{z - 50}{-10} $$

Giao điểm của đường thẳng này với mặt đất (z = 0):
$$ \frac{x - 200}{-300} = \frac{y + 200}{300} = \frac{-50}{-10} = 5 $$

Từ đó, ta có:
$$ x - 200 = -300 \times 5 \Rightarrow x = -1300 $$
$$ y + 200 = 300 \times 5 \Rightarrow y = 1300 $$

Vậy tọa độ của người quan sát là $(-1300, 1300, 0)$.

Bước 6: Tính khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm thả hai quả bóng bay.
Khoảng cách từ $(-1300, 1300, 0)$ đến $(0, 0, 0)$:
$$ d = \sqrt{(-1300)^2 + 1300^2 + 0^2} = \sqrt{1300^2 + 1300^2} = \sqrt{2 \times 1300^2} = 1300\sqrt{2} \approx 1838 \text{ m} $$

Vậy khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm thả hai quả bóng bay là $\boxed{1838}$ mét.