sóosossooaoaoooo

Câu 11. Để tính độ dài đoạn thẳng AB trong không gian Oxyz, ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm \(A(x_1, y_1, z_1)\) và \(B(x_2, y_2, z_2)\): \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng vào các tọa độ của điểm \(A(-1, 3, 1)\) và \(B(1, 1, 2)\): 1. Tính \(x_2 - x_1\): \[ 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \] 2. Tính \(y_2 - y_1\): \[ 1 - 3 = -2 \] 3. Tính \(z_2 - z_1\): \[ 2 - 1 = 1 \] 4. Thay vào công thức: \[ AB = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2 + (1)^2} \] \[ AB = \sqrt{4 + 4 + 1} \] \[ AB = \sqrt{9} \] \[ AB = 3 \] Vậy độ dài đoạn thẳng AB là 3. Đáp án đúng là: B. 3. Câu 12. Để kiểm tra xem đường thẳng $d$ đi qua điểm nào trong các điểm đã cho, ta sẽ thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình của đường thẳng $d$ và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn phương trình đó hay không. Phương trình của đường thẳng $d$ là: \[ d: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-5}{4} \] Ta sẽ lần lượt kiểm tra các điểm: 1. Kiểm tra điểm $N(1, -2, 5)$: \[ \frac{1-1}{2} = \frac{-2+2}{3} = \frac{5-5}{4} \] \[ \frac{0}{2} = \frac{0}{3} = \frac{0}{4} \] \[ 0 = 0 = 0 \] Điểm $N(1, -2, 5)$ thỏa mãn phương trình của đường thẳng $d$. 2. Kiểm tra điểm $P(2, 3, 4)$: \[ \frac{2-1}{2} = \frac{3+2}{3} = \frac{4-5}{4} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{5}{3} = \frac{-1}{4} \] Phương trình này không đúng vì $\frac{1}{2} \neq \frac{5}{3} \neq \frac{-1}{4}$. 3. Kiểm tra điểm $Q(-1, 2, -5)$: \[ \frac{-1-1}{2} = \frac{2+2}{3} = \frac{-5-5}{4} \] \[ \frac{-2}{2} = \frac{4}{3} = \frac{-10}{4} \] \[ -1 \neq \frac{4}{3} \neq -\frac{5}{2} \] Phương trình này không đúng vì $-1 \neq \frac{4}{3} \neq -\frac{5}{2}$. 4. Kiểm tra điểm $M(1, 2, 5)$: \[ \frac{1-1}{2} = \frac{2+2}{3} = \frac{5-5}{4} \] \[ \frac{0}{2} = \frac{4}{3} = \frac{0}{4} \] \[ 0 \neq \frac{4}{3} \neq 0 \] Phương trình này không đúng vì $0 \neq \frac{4}{3} \neq 0$. Như vậy, chỉ có điểm $N(1, -2, 5)$ thỏa mãn phương trình của đường thẳng $d$. Đáp án: $A.~N(1, -2, 5)$. Câu 1. a) Ta có diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = AB^2 = a^2 \] Thể tích khối chóp SABCD là: \[ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA = \frac{1}{3} \times a^2 \times 2a = \frac{2a^3}{3} \] b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC, vì SA vuông góc với đáy ABCD và BC nằm trong đáy. Ta có: \[ BC = a \] \[ AC = a\sqrt{2} \] Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là: \[ d(A, BC) = \frac{AC \times AB}{BC} = \frac{a\sqrt{2} \times a}{a} = a\sqrt{2} \] Tuy nhiên, ta cần tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC, do đó: \[ d(S, BC) = \sqrt{SA^2 + d(A, BC)^2} = \sqrt{(2a)^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{4a^2 + 2a^2} = \sqrt{6a^2} = a\sqrt{6} \] c) Ta có: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SA} + (\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{BC} \] Mặt khác: \[ \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SB} + (\overrightarrow{SC} + \overrightarrow{CD}) = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{CD} \] Do đó: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} \] d) Ta cần tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). Gọi H là chân đường cao hạ từ B xuống SC, ta có: \[ \cos \angle BHC = \frac{BH}{BC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Góc giữa hai mặt phẳng là: \[ \theta = \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 45^\circ \] Tuy nhiên, góc nhị diện [B, SC, D] là: \[ \theta' = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \] Vậy số đo góc nhị diện [B, SC, D] là: \[ \theta' = 135^\circ \] Đáp án: a) Thể tích khối chóp SABCD là $\frac{2a^3}{3}$. b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là $\frac{2a}{\sqrt{5}}$. c) $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}$. d) Số đo góc nhị diện [B, SC, D] là $135^\circ$. Câu 2. a) Phương trình mặt phẳng (ACE): - Điểm C có tọa độ (0, 0, 5) - Điểm A có tọa độ (1, 0, 4) - Điểm E có tọa độ (1, 3, 3) Phương trình mặt phẳng (ACE) là: \[ 3x + 4z - 15 = 0 \] b) Đường thẳng AE đi qua điểm J(1, 3, 3): - Điểm A có tọa độ (1, 0, 4) - Điểm E có tọa độ (1, 3, 3) Đường thẳng AE đi qua điểm J(1, 3, 3). c) Gọi (d) là đường thẳng đối xứng với đường thẳng AE qua mặt phẳng (OCGF). Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (OCGF) là 41° (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị): - Mặt phẳng (OCGF) có phương trình là y = 0 - Đường thẳng AE có vectơ chỉ phương là \(\vec{AE} = (0, 3, -1)\) Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (OCGF) là 41°. d) Gọi tọa độ điểm B là \(B(x_0, y_0, z_0)\) thì \(2y_0 + 4z_0 = 18\): - Điểm B nằm trên tường (OCND) nên tọa độ của B là \(B(x_0, y_0, z_0)\) - Mặt phẳng (OCND) có phương trình là x = 0 Do đó, tọa độ điểm B là \(B(0, y_0, z_0)\) và phương trình \(2y_0 + 4z_0 = 18\) phải thỏa mãn. Đáp số: a) Phương trình mặt phẳng (ACE) là \(3x + 4z - 15 = 0\) b) Đường thẳng AE đi qua điểm J(1, 3, 3) c) Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (OCGF) là 41° d) \(2y_0 + 4z_0 = 18\) Câu 3. Để so sánh trung bình kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Hùng và Đạt, ta sẽ tính trung bình cộng của mỗi vận động viên dựa trên dữ liệu đã cho. Bước 1: Tính trung bình kết quả nhảy xa của VĐV Hùng Ta lấy trung điểm của mỗi nhóm khoảng cách và nhân với tần số tương ứng, sau đó chia tổng này cho tổng số lần nhảy xa. - Nhóm [6,22; 6,46): Trung điểm là $\frac{6,22 + 6,46}{2} = 6,34$ - Tần số: 3 - Tổng: $6,34 \times 3 = 19,02$ - Nhóm [6,46; 6,70): Trung điểm là $\frac{6,46 + 6,70}{2} = 6,58$ - Tần số: 7 - Tổng: $6,58 \times 7 = 46,06$ - Nhóm [6,70; 6,94): Trung điểm là $\frac{6,70 + 6,94}{2} = 6,82$ - Tần số: 5 - Tổng: $6,82 \times 5 = 34,10$ - Nhóm [6,94; 7,18): Trung điểm là $\frac{6,94 + 7,18}{2} = 7,06$ - Tần số: 20 - Tổng: $7,06 \times 20 = 141,20$ - Nhóm [7,18; 7,42): Trung điểm là $\frac{7,18 + 7,42}{2} = 7,30$ - Tần số: 5 - Tổng: $7,30 \times 5 = 36,50$ Tổng các giá trị: \[ 19,02 + 46,06 + 34,10 + 141,20 + 36,50 = 276,88 \] Trung bình kết quả nhảy xa của VĐV Hùng: \[ \frac{276,88}{40} = 6,922 \text{ mét} \] Bước 2: Tính trung bình kết quả nhảy xa của VĐV Đạt Ta cũng lấy trung điểm của mỗi nhóm khoảng cách và nhân với tần số tương ứng, sau đó chia tổng này cho tổng số lần nhảy xa. - Nhóm [6,22; 6,46): Trung điểm là $\frac{6,22 + 6,46}{2} = 6,34$ - Tần số: 2 - Tổng: $6,34 \times 2 = 12,68$ - Nhóm [6,46; 6,70): Trung điểm là $\frac{6,46 + 6,70}{2} = 6,58$ - Tần số: 5 - Tổng: $6,58 \times 5 = 32,90$ - Nhóm [6,70; 6,94): Trung điểm là $\frac{6,70 + 6,94}{2} = 6,82$ - Tần số: 8 - Tổng: $6,82 \times 8 = 54,56$ - Nhóm [6,94; 7,18): Trung điểm là $\frac{6,94 + 7,18}{2} = 7,06$ - Tần số: 19 - Tổng: $7,06 \times 19 = 134,14$ - Nhóm [7,18; 7,22): Trung điểm là $\frac{7,18 + 7,22}{2} = 7,20$ - Tần số: 6 - Tổng: $7,20 \times 6 = 43,20$ Tổng các giá trị: \[ 12,68 + 32,90 + 54,56 + 134,14 + 43,20 = 277,48 \] Trung bình kết quả nhảy xa của VĐV Đạt: \[ \frac{277,48}{40} = 6,937 \text{ mét} \] Kết luận Trung bình kết quả 40 lần nhảy xa của VĐV Đạt là 6,937 mét, còn của VĐV Hùng là 6,922 mét. Do đó, trung bình kết quả nhảy xa của VĐV Đạt tốt hơn VĐV Hùng.