Giúp em với ạ

Câu 1: a) Ta có: $f(0)=2\sin 0+1=1$ $f(\frac{\pi }{2})=2\sin \frac{\pi }{2}+1=3$ b) Ta có: $f'(x)=2\cos x$ Phương trình $f'(x)=0$ có dạng: $2\cos x=0$ $\cos x=0$ $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ Trên đoạn $[0;\frac{\pi }{2}]$, phương trình có nghiệm duy nhất là $x=\frac{\pi }{2}$ c) Ta có: $f'(x)=2\cos x$ d) Ta có: $-1\le \sin x\le 1$ Nhân cả 3 vế với 2 ta được: $-2\le 2\sin x\le 2$ Cộng thêm 1 vào cả 3 vế ta được: $-1\le 2\sin x+1\le 3$ Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ là -1. Kết luận: Các phát biểu đúng là a, d. Câu 2: a) Ta thấy điểm A nằm trên trục Oy và có khoảng cách với gốc toạ độ O là 2 m nên tọa độ của điểm A là $(2;0;0).$ b) Điểm C có tọa độ là $(8;6;0).$ Vậy véc tơ $\overrightarrow{AC}$ có tọa độ là $(8-2;6-0;0-0)=(6;6;0).$ c) Gọi I là trung điểm của FG thì I có tọa độ là $(7;3;5).$ Ta thấy OK + IK = (OK + KI) ≥ OI (dấu bằng xảy ra khi K nằm trên đoạn thẳng OI) Vậy độ dài đoạn dây điện nối tối thiểu bằng OI. Ta có $OI=\sqrt{(7-0)^{2}+(3-0)^{2}+(5-0)^{2}}=5+2\sqrt{10}~(m).$ d) Diện tích của một mái nhà là $\frac{1}{2}\times 6\times 7=21(m^{2}).$ Diện tích của cả hai mái nhà là $21\times 2=42(m^{2}).$ Số viên ngói cần dùng là $42\times 22=924$ (viên). Số tiền cần bỏ ra để mua ngói lợp mái nhà là $924\times 11000=10164000$ (đồng). Câu 3: a) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t=15$ là $v~15=21~m/s.$ Đúng vì từ đồ thị ta thấy vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t=15$ là $v~15=21~m/s.$ b) Quãng đường chất điểm đi được trong thời gian t giây $0\leq t\leq3$ là $S=\int^3_011dt~m.$ Đúng vì từ đồ thị ta thấy vận tốc của chất điểm trong thời gian $0\leq t\leq3$ là $v(t)=11~m/s.$ Vậy quãng đường chất điểm đi được trong thời gian t giây $0\leq t\leq3$ là $S=\int^3_011dt~m.$ c) Quãng đường chất điểm đi được trong thời gian t giây $8\leq t\leq15$ bằng 73,5 m . Đúng vì từ đồ thị ta thấy vận tốc của chất điểm trong thời gian $8\leq t\leq15$ là $v(t)=21-3t~m/s.$ Vậy quãng đường chất điểm đi được trong thời gian t giây $8\leq t\leq15$ là $S=\int^{15}_8(21-3t)dt=73,5~m.$ d) Vận tốc trung bình $v_{tb}$ của chất điểm trong thời gian t giây $3\leq t\leq8$ thoả mãn $v_{tb}< 7~m/s.$ Sai vì từ đồ thị ta thấy vận tốc của chất điểm trong thời gian $3\leq t\leq8$ là $v(t)=t+4~m/s.$ Vậy vận tốc trung bình $v_{tb}$ của chất điểm trong thời gian t giây $3\leq t\leq8$ là $v_{tb}=\frac{\int^8_3(t+4)dt}{8-3}=7~m/s.$ Câu 4: a) Tập xác định của hàm số $y=f(x)$ là $\mathbb{R}\setminus\{-2\}.$ Điều kiện xác định của hàm số là mẫu số khác 0, tức là $x + 2 \neq 0$. Do đó, tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$. b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=f(x)$ là điểm $I(2;1).$ Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số, ta cần kiểm tra tính chất của hàm số. Ta thấy rằng: \[ f(x) = \frac{x^2 + x - 1}{x + 2} \] Ta thực hiện phép chia đa thức: \[ x^2 + x - 1 = (x + 2)(x - 1) + 1 \] Do đó: \[ f(x) = x - 1 + \frac{1}{x + 2} \] Hàm số $f(x)$ có dạng $g(x) + h(x)$, trong đó $g(x) = x - 1$ là hàm bậc nhất và $h(x) = \frac{1}{x + 2}$ là hàm phân thức. Tâm đối xứng của hàm phân thức $h(x)$ là điểm $( -2 ; 0 )$. Tuy nhiên, do $g(x)$ dịch chuyển tâm đối xứng này sang điểm $(2;1)$. c) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị nằm cùng phía với trục hoành. Để tìm cực trị của hàm số, ta tính đạo hàm: \[ f'(x) = \left( x - 1 + \frac{1}{x + 2} \right)' = 1 - \frac{1}{(x + 2)^2} \] Đặt $f'(x) = 0$: \[ 1 - \frac{1}{(x + 2)^2} = 0 \] \[ \frac{1}{(x + 2)^2} = 1 \] \[ (x + 2)^2 = 1 \] \[ x + 2 = \pm 1 \] \[ x = -1 \text{ hoặc } x = -3 \] Ta kiểm tra dấu của $f'(x)$ ở các khoảng: - Khi $x < -3$, $f'(x) > 0$ - Khi $-3 < x < -1$, $f'(x) < 0$ - Khi $x > -1$, $f'(x) > 0$ Do đó, hàm số đạt cực đại tại $x = -3$ và cực tiểu tại $x = -1$. Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm này: \[ f(-3) = \frac{(-3)^2 + (-3) - 1}{-3 + 2} = \frac{9 - 3 - 1}{-1} = -5 \] \[ f(-1) = \frac{(-1)^2 + (-1) - 1}{-1 + 2} = \frac{1 - 1 - 1}{1} = -1 \] Cả hai giá trị đều âm, nên hai điểm cực trị nằm cùng phía với trục hoành. d) Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ với trục tung. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M là $y=\frac34x-\frac12.$ Điểm M là giao điểm của đồ thị với trục tung, tức là $x = 0$: \[ f(0) = \frac{0^2 + 0 - 1}{0 + 2} = -\frac{1}{2} \] Do đó, điểm M là $(0; -\frac{1}{2})$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(0; -\frac{1}{2})$: \[ y' = 1 - \frac{1}{(x + 2)^2} \] Tại $x = 0$: \[ y'(0) = 1 - \frac{1}{(0 + 2)^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] Phương trình tiếp tuyến: \[ y + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}(x - 0) \] \[ y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{2} \] Đáp số: a) Tập xác định của hàm số $y=f(x)$ là $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$. b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=f(x)$ là điểm $I(2;1)$. c) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị nằm cùng phía với trục hoành. d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M là $y=\frac34x-\frac12$.