Giải phương trình:$\frac{5}{x^2-4x+5}-x^2+4x-1=0$

Để giải phương trình $\frac{5}{x^2-4x+5} - x^2 + 4x - 1 = 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phân thức $\frac{5}{x^2-4x+5}$ có mẫu số là $x^2 - 4x + 5$. Ta cần kiểm tra xem mẫu số này có thể bằng 0 hay không. Ta có: \[ x^2 - 4x + 5 = 0 \] Tính delta: \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \] Vì $\Delta < 0$, nên phương trình $x^2 - 4x + 5 = 0$ vô nghiệm. Do đó, mẫu số $x^2 - 4x + 5$ luôn khác 0, tức là ĐKXĐ là tất cả các số thực. Bước 2: Nhân cả hai vế của phương trình với $x^2 - 4x + 5$ để loại bỏ mẫu số: \[ 5 - (x^2 - 4x + 5)(x^2 - 4x + 1) = 0 \] Bước 3: Thực hiện phép nhân và thu gọn: \[ 5 - (x^2 - 4x + 5)(x^2 - 4x + 1) = 0 \] \[ 5 - (x^2 - 4x + 5)(x^2 - 4x + 1) = 0 \] \[ 5 - (x^4 - 4x^3 + x^2 - 4x^3 + 16x^2 - 4x + 5x^2 - 20x + 5) = 0 \] \[ 5 - (x^4 - 8x^3 + 22x^2 - 24x + 5) = 0 \] \[ 5 - x^4 + 8x^3 - 22x^2 + 24x - 5 = 0 \] \[ -x^4 + 8x^3 - 22x^2 + 24x = 0 \] Bước 4: Chia cả hai vế cho -1: \[ x^4 - 8x^3 + 22x^2 - 24x = 0 \] Bước 5: Factorize phương trình: \[ x(x^3 - 8x^2 + 22x - 24) = 0 \] Bước 6: Tìm nghiệm của phương trình: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^3 - 8x^2 + 22x - 24 = 0 \] Bước 7: Kiểm tra nghiệm của phương trình bậc ba: \[ x^3 - 8x^2 + 22x - 24 = 0 \] Ta thử nghiệm các giá trị nguyên có thể là nghiệm của phương trình này: - Thử x = 2: \[ 2^3 - 8 \cdot 2^2 + 22 \cdot 2 - 24 = 8 - 32 + 44 - 24 = 0 \] Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình. Do đó, phương trình có các nghiệm là: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Đáp số: $x = 0$ hoặc $x = 2$.