Cho hình vuông ABCD trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH⊥BF (H ∈ BF), đường thẳng AH cắt các đường thẳng DC và BC lần lượt tại hai điểm M và N.
1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. CMR: AC = 2EF
3. CMR $\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}$

Question

Accepted Answer

1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.

- Ta có AE = AF (theo đề bài) và góc DAF = góc BAE = 90°.
- Do đó, tam giác ADF và tam giác ABE là các tam giác vuông cân tại A, suy ra DF = BE.
- Mặt khác, do ABCD là hình vuông nên AD = AB.
- Suy ra tam giác ADF = tam giác ABE (cạnh huyền và cạnh góc vuông).
- Từ đó, ta có góc AFD = góc AEB.
- Vì góc AFD + góc ADF = 90° (góc trong cùng phía) nên góc AEB + góc ADF = 90°.
- Suy ra góc AED = 90°.
- Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông).

2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng AC = 2EF.

- Diện tích tam giác BCH = 4 × diện tích tam giác AEH.
- Diện tích tam giác AEH = $\frac{1}{2}$ × AE × AH.
- Diện tích tam giác BCH = $\frac{1}{2}$ × BC × CH.
- Suy ra $\frac{1}{2}$ × BC × CH = 4 × $\frac{1}{2}$ × AE × AH.
- Suy ra BC × CH = 4 × AE × AH.
- Vì ABCD là hình vuông nên BC = AD = AB.
- Suy ra AD × CH = 4 × AE × AH.
- Mặt khác, do tam giác ADF = tam giác ABE nên DF = BE.
- Suy ra EF = DF + DE = BE + DE = BD.
- Suy ra AC = 2EF (vì AC = 2BD).

3. Chứng minh rằng $\frac{1}{AD^2} = \frac{1}{AM^2} + \frac{1}{AN^2}$.

- Ta có AM = AD + DM và AN = AD + DN.
- Suy ra $\frac{1}{AM^2} = \frac{1}{(AD + DM)^2}$ và $\frac{1}{AN^2} = \frac{1}{(AD + DN)^2}$.
- Mặt khác, do AEMD là hình chữ nhật nên DM = AE và DN = AF.
- Suy ra $\frac{1}{AM^2} = \frac{1}{(AD + AE)^2}$ và $\frac{1}{AN^2} = \frac{1}{(AD + AF)^2}$.
- Suy ra $\frac{1}{AM^2} + \frac{1}{AN^2} = \frac{1}{(AD + AE)^2} + \frac{1}{(AD + AF)^2}$.
- Vì AE = AF nên $\frac{1}{AM^2} + \frac{1}{AN^2} = \frac{1}{(AD + AE)^2} + \frac{1}{(AD + AE)^2} = \frac{2}{(AD + AE)^2}$.
- Suy ra $\frac{1}{AM^2} + \frac{1}{AN^2} = \frac{2}{(AD + AE)^2}$.
- Mặt khác, do tam giác ADF = tam giác ABE nên DF = BE.
- Suy ra EF = DF + DE = BE + DE = BD.
- Suy ra AC = 2EF (vì AC = 2BD).
- Suy ra $\frac{1}{AD^2} = \frac{1}{AM^2} + \frac{1}{AN^2}$.

Cho hình vuông ABCD trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH⊥BF (H ∈ BF), đường thẳng AH cắt các đường thẳng DC và BC lần lượt tại hai điểm M và N. 1. Chứng minh rằng t...