Câu 17.
Để xác định khoảng đồng biến của hàm số , ta cần quan sát sự thay đổi của giá trị hàm số khi tăng lên.
- Trên khoảng , ta thấy rằng khi tăng từ 0 đến 1 thì giá trị của hàm số giảm dần. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng này.
- Trên khoảng , ta thấy rằng khi tăng từ đến 0 thì giá trị của hàm số cũng tăng dần. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này.
- Trên khoảng , ta thấy rằng khi tăng từ 1 đến thì giá trị của hàm số giảm dần. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng này.
- Trên khoảng , ta thấy rằng khi tăng từ -1 đến 0 thì giá trị của hàm số cũng tăng dần. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này.
Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chỉ có khoảng và là có thể đúng. Vì nằm trong khoảng , nên ta chọn khoảng lớn hơn là .
Vậy đáp án đúng là:
Đáp số:
Câu 18.
Trung vị của mẫu số liệu gốc là giá trị ở vị trí thứ 15 và 16 (vì có 30 học sinh).
- Khoảng [2; 4) có 4 học sinh.
- Khoảng [4; 6) có 8 học sinh, tổng cộng là 4 + 8 = 12 học sinh.
- Khoảng [6; 8) có 11 học sinh, tổng cộng là 12 + 11 = 23 học sinh.
Vị trí thứ 15 và 16 nằm trong khoảng [6; 8), vì vậy trung vị của mẫu số liệu gốc thuộc khoảng này.
Đáp án đúng là: C. (6, 8).
Câu 19.
Phương trình mặt phẳng đã cho là:
Ta viết lại phương trình này dưới dạng tổng quát:
Nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ các phân số:
Từ đây, ta thấy rằng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là .
So sánh với các đáp án đã cho:
Ta nhận thấy rằng không nằm trong các lựa chọn trên. Tuy nhiên, vectơ pháp tuyến có thể nhân với một hằng số khác 0 và vẫn giữ tính chất pháp tuyến. Do đó, ta có thể nhân với -1 để có:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 20.
Để tính tổng S của 14 số hạng đầu tiên của cấp số cộng với số hạng đầu và công sai , ta sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:
Trong đó:
- là số lượng số hạng đầu tiên, ở đây .
- là số hạng đầu tiên, ở đây .
- là công sai, ở đây .
Thay các giá trị vào công thức:
Tính từng phần trong ngoặc trước:
Cộng lại:
Nhân với :
Vậy tổng S của 14 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
Đáp án đúng là: D. .
Câu 21.
Để tính tích vô hướng của tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định góc giữa hai vectơ:
- Trong tứ diện đều, các cạnh đều bằng nhau và các mặt đều là tam giác đều. Do đó, góc giữa hai vectơ và là góc giữa hai cạnh của tam giác đều, tức là 60°.
2. Áp dụng công thức tính tích vô hướng:
- Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ và là:
- Ở đây, , , và .
3. Thay các giá trị vào công thức:
- Độ dài của mỗi vectơ là a (vì cạnh của tứ diện đều bằng a).
- Góc giữa chúng là 60°, và .
- Vậy:
Do đó, tích vô hướng là .
Đáp án đúng là:
Câu 22.
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số
Bước 2: Tìm các điểm cực trị trong khoảng
Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị:
Giải phương trình bậc hai này:
Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị
- Tại :
- Tại :
- Tại :
Bước 4: So sánh các giá trị đã tính
-
-
-
Trong các giá trị trên, giá trị lớn nhất là .
Kết luận:
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là .
Đáp án đúng là: