Trả lời câu

Câu 1: Để xác định tính chất biến thiên của hàm số \( y = \frac{2x-1}{x-1} \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định của hàm số: Hàm số \( y = \frac{2x-1}{x-1} \) có mẫu số là \( x - 1 \). Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 \] Vậy tập xác định của hàm số là \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \). 2. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \left( \frac{2x-1}{x-1} \right)' = \frac{(2x-1)'(x-1) - (2x-1)(x-1)'}{(x-1)^2} \] Tính đạo hàm của tử và mẫu: \[ (2x-1)' = 2 \quad \text{và} \quad (x-1)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ y' = \frac{2(x-1) - (2x-1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x + 1}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2} \] 3. Xét dấu của đạo hàm: Ta thấy rằng: \[ y' = \frac{-1}{(x-1)^2} \] Vì \((x-1)^2\) luôn dương với mọi \( x \neq 1 \), nên \(\frac{-1}{(x-1)^2}\) luôn âm với mọi \( x \neq 1 \). 4. Kết luận về tính chất biến thiên: Do đạo hàm \( y' < 0 \) với mọi \( x \neq 1 \), hàm số \( y = \frac{2x-1}{x-1} \) nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (1, +\infty) \). Vậy phát biểu đúng là: B. Hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \). Đáp án: B. Hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \). Câu 2: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $f(x)$, ta thấy rằng: - Hàm số giảm từ $-\infty$ đến $x = -1$. - Tại điểm $x = -1$, hàm số đạt cực tiểu. - Sau đó, hàm số tăng từ $x = -1$ đến $+\infty$. Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy giá trị cực tiểu của hàm số tại điểm $x = -1$ là $-3$. Do đó, giá trị cực tiểu của hàm số là $-3$. Đáp án đúng là: A. $-3$. Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tỉ lệ thể tích trong hình học không gian. 1. Xác định tỉ lệ trên các cạnh: - Trên cạnh OA lấy điểm A' sao cho $\frac{OA'}{OA} = \frac{1}{2}$. - Trên cạnh OB lấy điểm B' sao cho $\frac{OB'}{OB} = \frac{1}{4}$. - Trên cạnh OC lấy điểm C' sao cho $\frac{OC'}{OC} = \frac{1}{4}$. 2. Tính tỉ lệ thể tích của khối chóp O.A'B'C' so với khối chóp O.ABC: - Tỉ lệ thể tích của hai khối chóp có chung đỉnh và đáy là tỉ số của thể tích khối chóp con so với thể tích khối chóp lớn. - Thể tích của khối chóp O.A'B'C' so với khối chóp O.ABC sẽ là tích của các tỉ lệ trên các cạnh: \[ \text{Tỉ lệ thể tích} = \left(\frac{OA'}{OA}\right) \times \left(\frac{OB'}{OB}\right) \times \left(\frac{OC'}{OC}\right) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \text{Tỉ lệ thể tích} = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{32} \] 3. Kết luận: - Tỉ số thể tích giữa khối chóp O.A'B'C' và khối chóp O.ABC là $\frac{1}{32}$. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{1}{32}} \] Câu 4: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần xem xét đồ thị của hàm số \( y = f(x) \) và xác định khoảng nào mà hàm số này đồng biến. Trước tiên, hãy xem lại đồ thị của hàm số \( y = f(x) \): [Đồ thị của hàm số \( y = f(x) \)] Từ đồ thị, chúng ta thấy rằng hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (-\infty, 0) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~(-\infty, 0) \] Đáp số: \( A.~(-\infty, 0) \) Câu 5: Để tìm số điểm cực đại của đồ thị hàm số \( f(x) = x^2(x^2 - 1) \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ f'(x) = \frac{d}{dx} [x^2(x^2 - 1)] \] Áp dụng quy tắc nhân: \[ f'(x) = x^2 \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 1) + (x^2 - 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) \] \[ f'(x) = x^2 \cdot 2x + (x^2 - 1) \cdot 2x \] \[ f'(x) = 2x^3 + 2x(x^2 - 1) \] \[ f'(x) = 2x^3 + 2x^3 - 2x \] \[ f'(x) = 4x^3 - 2x \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. \[ f'(x) = 4x^3 - 2x = 0 \] \[ 2x(2x^2 - 1) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x^2 - 1 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = \frac{1}{2} \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng giữa các nghiệm. - Khi \( x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \), chọn \( x = -1 \): \[ f'(-1) = 4(-1)^3 - 2(-1) = -4 + 2 = -2 < 0 \] - Khi \( -\frac{\sqrt{2}}{2} < x < 0 \), chọn \( x = -\frac{1}{2} \): \[ f'\left(-\frac{1}{2}\right) = 4\left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) = 4\left(-\frac{1}{8}\right) + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} > 0 \] - Khi \( 0 < x < \frac{\sqrt{2}}{2} \), chọn \( x = \frac{1}{2} \): \[ f'\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 2\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{8}\right) - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} < 0 \] - Khi \( x > \frac{\sqrt{2}}{2} \), chọn \( x = 1 \): \[ f'(1) = 4(1)^3 - 2(1) = 4 - 2 = 2 > 0 \] Từ đó, ta thấy: - \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) là điểm cực tiểu vì \( f'(x) \) chuyển từ âm sang dương. - \( x = 0 \) là điểm cực đại vì \( f'(x) \) chuyển từ dương sang âm. - \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) là điểm cực tiểu vì \( f'(x) \) chuyển từ âm sang dương. Vậy, đồ thị hàm số \( f(x) = x^2(x^2 - 1) \) có 1 điểm cực đại. Đáp án đúng là: A. 1. Câu 6: Đầu tiên, ta viết lại hàm số đã cho: \[ y = x^2 - 2x^2 + x + 1 = -x^2 + x + 1 \] Bây giờ, ta sẽ tìm đạo hàm của hàm số này để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^2 + x + 1) = -2x + 1 \] Để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến, ta cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0: \[ -2x + 1 = 0 \] \[ -2x = -1 \] \[ x = \frac{1}{2} \] Ta xét dấu của đạo hàm \( y' = -2x + 1 \): - Khi \( x < \frac{1}{2} \), ta có \( -2x + 1 > 0 \), tức là \( y' > 0 \). Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, \frac{1}{2}) \). - Khi \( x > \frac{1}{2} \), ta có \( -2x + 1 < 0 \), tức là \( y' < 0 \). Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \( (\frac{1}{2}, +\infty) \). Vậy, các mệnh đề đúng là: A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (\frac{1}{2}, +\infty) \). B. Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, \frac{1}{2}) \). Như vậy, trong các lựa chọn đã cho, mệnh đề đúng là: B. Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, \frac{1}{2}) \). Đáp án: B. Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, \frac{1}{2}) \).