giảiiiiiiiiii ,Câu 1. Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}.$ Xét tính đúng, sai trong các phát biểu sau:,f a ồ hị hàm số có một đườờg tiệm cận đứng à một đường tiệệ cận xiên.,b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2).$,1) c) Hàm số có hai điểm cực trị.,d)) Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $(1;5]$ bằng $\frac{17}4.$

Question

giảiiiiiiiiii <img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/241c0f3bc835492faab3c742000f09a0.jpg />,Câu 1. Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}.$ Xét tính đúng, sai trong các phát biểu sau:,f  a  ồ  hị hàm số có một đườờg tiệm cận đứng  à một đường tiệệ  cận xiên.,b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2).$,1) c) Hàm số có hai điểm cực trị.,d)) Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $(1;5]$ bằng $\frac{17}4.$

Accepted Answer

Câu 1. Để giải quyết các phát biểu về hàm số $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}$, chúng ta sẽ xét từng phát biểu một. Phát biểu a: Hàm số có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận xiên. Đường tiệm cận đứng: Đường tiệm cận đứng của hàm số là những giá trị của $x$ làm mẫu số bằng 0. Trong trường hợp này, mẫu số là $x - 1$, do đó: $$ x - 1 = 0 \implies x = 1 $$ Vậy hàm số có đường tiệm cận đứng là $x = 1$. Đường tiệm cận xiên: Để tìm đường tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia đa thức: $$ y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} $$ Thực hiện phép chia: $$ \begin{array}{r|rr} & x & -1 \ \hline x-1 & x^2 & -2x & +2 \ & x^2 & -x & \ \hline & & -x & +2 \ & & -x & +1 \ \hline & & & 1 \ \end{array} $$ Ta có: $$ y = x - 1 + \frac{1}{x-1} $$ Khi $x \to \pm \infty$, $\frac{1}{x-1} \to 0$. Vậy đường tiệm cận xiên là $y = x - 1$. Phát biểu a là đúng. Phát biểu b: Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$. Kiểm tra tính biến thiên: Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \left( \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} \right)' $$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương: $$ y' = \frac{(x^2 - 2x + 2)'(x - 1) - (x^2 - 2x + 2)(x - 1)'}{(x - 1)^2} $$ $$ y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 2)}{(x - 1)^2} $$ $$ y' = \frac{2x^2 - 2x - 2x + 2 - x^2 + 2x - 2}{(x - 1)^2} $$ $$ y' = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} $$ $$ y' = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} $$ Trên khoảng $(0;2)$, ta thấy: - $x > 0$ - $x - 2 < 0$ - $(x - 1)^2 > 0$ Do đó, $y' < 0$ trên khoảng $(0;2)$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$. Phát biểu b là đúng. Phát biểu c: Hàm số có hai điểm cực trị. Tìm điểm cực trị: Điều kiện để hàm số có cực trị là $y' = 0$: $$ \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} = 0 $$ $$ x(x - 2) = 0 $$ $$ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 $$ Kiểm tra dấu của đạo hàm $y'$: - Trên khoảng $(-\infty; 0)$: $y' < 0$ - Trên khoảng $(0; 1)$: $y' > 0$ - Trên khoảng $(1; 2)$: $y' < 0$ - Trên khoảng $(2; +\infty)$: $y' > 0$ Vậy hàm số có cực tiểu tại $x = 0$ và cực đại tại $x = 2$. Phát biểu c là đúng. Phát biểu d: Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $(1;5]$ bằng $\frac{17}{4}$. Tìm giá trị lớn nhất: Trên khoảng $(1;5]$, ta kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại $x = 2$: $y = \frac{2^2 - 2 \cdot 2 + 2}{2 - 1} = 2$ - Tại $x = 5$: $y = \frac{5^2 - 2 \cdot 5 + 2}{5 - 1} = \frac{25 - 10 + 2}{4} = \frac{17}{4}$ So sánh các giá trị: - $y(2) = 2$ - $y(5) = \frac{17}{4}$ Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $(1;5]$ là $\frac{17}{4}$. Phát biểu d là đúng. Kết luận: Tất cả các phát biểu a, b, c và d đều đúng.