Trả lời câu Câu 11: Một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và chiều cao lần lượt là 4m,3m,và 3m . Tính thể tích của căn phòng đó theo đơn vị $m^3.$,A. 48. B. 12. C. 24 . D. 36.,Câu 12: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $y=x^3+x$ tại điểm $M(1;2)$ là,$A.~y=-4x+2.$ $B.~y=4x-2.$ $C.~y=4x+2.$ $D.~y=-4x+6.$,PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm).,Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn Đúng hoặc Sai.,Câu 1: Một tổ có 16 bạn học sinh gồm 7 nam, 9 nữ. Chọn ngẫu nhiên từ tổ ra 6 bạn bất kì.,a) Xác suất để 6 bạn được chọn có đúng 2 nữ là $\frac{45}{286}.$,b) Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega)=C^6_{16}.$,c) Xác suất để 6 bạn được chọn toàn nam là $\frac1{114}.$,d) Xác suất để 6 bạn được chọn có ít nhất 1 nam là $\frac9{11}.$,Câu 2: Cho hai hàm số $f(x)=x-\frac1x+2\ln x$,$a)~f(\frac1x)=-f(x),~\forall x\in D$,b) Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên toàn tập xác định của nó.,c) Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định là $D=(0;+\infty)$,d) Số giá trị nguyên của m để phương trình $f(x+6)+f(\frac{x^2+1}{x-m})=0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt,là 30.,Câu 3: Cho hàm số $f(x)=\frac{2x+1}{x-1}.$ Khi đó:,a) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x=0$ là $y=-3x-1$,b) Hàm số không có cực trị.,c) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$ và tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2.$,d) Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty).$,Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là vuông cạnh a. Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy và,$SA=a.$ Vẽ đường cao AH của tam giác SAB .ẽ đường cao AKKcca tam giáácSSDD. Khiđđó,$a)~AH\bot(SBC).$,b) Góc giữa SC và (AHK) là 9 $90^0$,c) Độ dài đoạn thẳng HK là $a\frac{\sqrt2}2$,d) Thiết diện khi cắt hình chóp SABCD bởi mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC có diện tích,$là~a^2\frac{\sqrt3}3.$,PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGÁN (3,0 điểm).,Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1: Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng a . Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và,nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_2$ (hình vẽ). Từ hình vuông $C_2$ lại tiếp tục làm,như trên ta nhận được dãy các hình vuông $C_1,C_2,C_3,...,C_n.$ Gọi $S_i$ là diện tích của hình vuông,$C_i(i\in\{1;2;3;...\}).$

Question

Accepted Answer

Câu 11: Để tính thể tích của căn phòng dạng hình hộp chữ nhật, ta sử dụng công thức tính thể tích của hình hộp chữ nhật: $$ V = l \times w \times h $$ Trong đó: - $ l $ là chiều dài, - $ w $ là chiều rộng, - $ h $ là chiều cao. Theo đề bài, chiều dài ($ l $) là 4m, chiều rộng ($ w $) là 3m và chiều cao ($ h $) là 3m. Bây giờ, ta thay các giá trị này vào công thức: $$ V = 4 \times 3 \times 3 $$ Ta thực hiện phép nhân từng bước: $$ 4 \times 3 = 12 $$ $$ 12 \times 3 = 36 $$ Vậy thể tích của căn phòng là 36 m³. Do đó, đáp án đúng là: D. 36. Câu 12: Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 + x$ tại điểm $M(1, 2)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta có: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + x) = 3x^2 + 1 $$ 2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $M(1, 2)$: Thay $x = 1$ vào đạo hàm: $$ y'(1) = 3(1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4 $$ Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $M(1, 2)$ là $k = 4$. 3. Viết phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ có dạng: $$ y - y_0 = k(x - x_0) $$ Thay $x_0 = 1$, $y_0 = 2$, và $k = 4$ vào phương trình trên: $$ y - 2 = 4(x - 1) $$ Rút gọn phương trình: $$ y - 2 = 4x - 4 $$ $$ y = 4x - 4 + 2 $$ $$ y = 4x - 2 $$ Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị $y = x^3 + x$ tại điểm $M(1, 2)$ là: $$ y = 4x - 2 $$ Đáp án đúng là: B. $y = 4x - 2$. Câu 1: a) Xác suất để 6 bạn được chọn có đúng 2 nữ: - Số cách chọn 2 nữ trong 9 nữ: $C^2_9$ - Số cách chọn 4 nam trong 7 nam: $C^4_7$ - Số cách chọn 6 bạn từ 16 bạn: $C^6_{16}$ - Xác suất: $\frac{C^2_9 \times C^4_7}{C^6_{16}} = \frac{45}{286}$ b) Số phần tử của không gian mẫu: - Số cách chọn 6 bạn từ 16 bạn: $C^6_{16}$ c) Xác suất để 6 bạn được chọn toàn nam: - Số cách chọn 6 nam trong 7 nam: $C^6_7$ - Số cách chọn 6 bạn từ 16 bạn: $C^6_{16}$ - Xác suất: $\frac{C^6_7}{C^6_{16}} = \frac{1}{114}$ d) Xác suất để 6 bạn được chọn có ít nhất 1 nam: - Xác suất để 6 bạn được chọn toàn nữ: $\frac{C^6_9}{C^6_{16}}$ - Xác suất để 6 bạn được chọn có ít nhất 1 nam: $1 - \frac{C^6_9}{C^6_{16}} = \frac{9}{11}$ Câu 2: Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần một. Phần a) Kiểm tra tính chất $f\left(\frac{1}{x}\right) = -f(x)$ Ta có: $$ f(x) = x - \frac{1}{x} + 2 \ln x $$ Thay $x$ bằng $\frac{1}{x}$ vào $f(x)$: $$ f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - x + 2 \ln \left(\frac{1}{x}\right) $$ $$ f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - x + 2 (-\ln x) $$ $$ f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - x - 2 \ln x $$ Nhận thấy rằng: $$ f\left(\frac{1}{x}\right) = -\left( x - \frac{1}{x} + 2 \ln x \right) = -f(x) $$ Vậy, $f\left(\frac{1}{x}\right) = -f(x)$ là đúng. Phần b) Kiểm tra tính chất hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên toàn tập xác định của nó Tính đạo hàm của $f(x)$: $$ f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} $$ Phân tích đạo hàm: $$ f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} $$ Đạo hàm này luôn dương vì: $$ 1 > 0, \quad \frac{1}{x^2} > 0, \quad \frac{2}{x} > 0 \text{ (với } x > 0) $$ Do đó, $f'(x) > 0$ trên $(0, +\infty)$, vậy hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(0, +\infty)$, không phải nghịch biến. Phần c) Xác định tập xác định của hàm số $y = f(x)$ Hàm số $f(x) = x - \frac{1}{x} + 2 \ln x$ có các thành phần: - $x$ xác định trên $\mathbb{R}$ - $\frac{1}{x}$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ - $\ln x$ xác định trên $(0, +\infty)$ Vậy tập xác định của $f(x)$ là: $$ D = (0, +\infty) $$ Phần d) Tìm số giá trị nguyên của $m$ để phương trình $f(x+6) + f\left(\frac{x^2+1}{x-m}\right) = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt Vì $f\left(\frac{1}{x}\right) = -f(x)$, phương trình trở thành: $$ f(x+6) = -f\left(\frac{x^2+1}{x-m}\right) $$ $$ f(x+6) = f\left(\frac{1}{\frac{x^2+1}{x-m}}\right) $$ $$ f(x+6) = f\left(\frac{x-m}{x^2+1}\right) $$ Vì $f(x)$ đồng biến, ta có: $$ x + 6 = \frac{x - m}{x^2 + 1} $$ Điều này dẫn đến phương trình: $$ (x + 6)(x^2 + 1) = x - m $$ $$ x^3 + 6x^2 + x + 6 = x - m $$ $$ x^3 + 6x^2 + 6 + m = 0 $$ Để phương trình này có đúng 3 nghiệm phân biệt, ta cần phân tích thêm về các nghiệm của đa thức bậc 3. Tuy nhiên, việc tìm số giá trị nguyên của $m$ để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt đòi hỏi thêm các phép tính phức tạp hơn, thường liên quan đến phân tích đa thức và điều kiện về nghiệm. Kết luận - Phần a) Đúng - Phần b) Sai - Phần c) Đúng - Phần d) Cần thêm phân tích phức tạp hơn để xác định số giá trị nguyên của $m$. Câu 3: Để giải quyết các phát biểu trong câu hỏi, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một. a) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $ x = 0 $ là $ y = -3x - 1 $. Đầu tiên, tính đạo hàm của hàm số $ f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} $: $$ f'(x) = \frac{(2)(x - 1) - (2x + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{-3}{(x - 1)^2}. $$ Tại điểm $ x = 0 $: $$ f'(0) = \frac{-3}{(0 - 1)^2} = -3. $$ Giá trị của hàm số tại $ x = 0 $: $$ f(0) = \frac{2(0) + 1}{0 - 1} = -1. $$ Phương trình tiếp tuyến tại điểm $ (0, -1) $ với hệ số góc $ f'(0) = -3 $: $$ y - (-1) = -3(x - 0) \Rightarrow y = -3x - 1. $$ Vậy phát biểu a) đúng. b) Hàm số không có cực trị. Đạo hàm của hàm số: $$ f'(x) = \frac{-3}{(x - 1)^2}. $$ Ta thấy rằng $ f'(x) $ luôn luôn âm ($ f'(x) < 0 $) ngoại trừ tại $ x = 1 $ (điểm không xác định). Do đó, hàm số không có cực trị. Vậy phát biểu b) đúng. c) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $ x = 1 $ và tiệm cận ngang là đường thẳng $ y = 2 $. Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0: $$ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1. $$ Tiệm cận ngang được tìm bằng cách tính giới hạn của hàm số khi $ x \to \pm \infty $: $$ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2. $$ Vậy phát biểu c) đúng. d) Hàm số nghịch biến trên các khoảng $ (-\infty; 1) $ và $ (1; +\infty) $. Như đã tính ở trên, đạo hàm của hàm số: $$ f'(x) = \frac{-3}{(x - 1)^2}. $$ $ f'(x) < 0 $ cho mọi $ x \neq 1 $. Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng $ (-\infty; 1) $ và $ (1; +\infty) $. Vậy phát biểu d) đúng. Kết luận: Tất cả các phát biểu a), b), c), và d) đều đúng. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định các tính chất cơ bản - Đáy ABCD là hình vuông cạnh $a$. - $SA \perp$ mặt phẳng đáy. - $SA = a$. Bước 2: Xác định các đường cao - $AH$ là đường cao từ $A$ hạ xuống $SB$ trong tam giác $SAB$. - $AK$ là đường cao từ $A$ hạ xuống $SD$ trong tam giác $SAD$. Bước 3: Kiểm tra các phát biểu Phát biểu a) $AH \perp (SBC)$ - $AH \perp SB$ (vì $AH$ là đường cao trong tam giác $SAB$). - $SA \perp$ mặt phẳng đáy, do đó $SA \perp BC$. - $BC \perp AB$ (vì ABCD là hình vuông). Do đó, $AH \perp BC$ (vì $AH$ nằm trong mặt phẳng $SAB$ và $BC \perp AB$). Từ đó suy ra $AH \perp (SBC)$. Phát biểu b) Góc giữa $SC$ và $(AHK)$ là $90^\circ$ - $AH \perp (SBC)$, do đó $AH \perp SC$. - $AK \perp SD$, do đó $AK \perp SC$ (vì $SC$ nằm trong mặt phẳng $SCD$). Do đó, $SC \perp$ cả $AH$ và $AK$, suy ra $SC \perp (AHK)$. Phát biểu c) Độ dài đoạn thẳng $HK$ là $a \frac{\sqrt{2}}{2}$ - $H$ là chân đường cao từ $A$ hạ xuống $SB$, do đó $H$ nằm trên $SB$. - $K$ là chân đường cao từ $A$ hạ xuống $SD$, do đó $K$ nằm trên $SD$. Trong tam giác $SAB$, $AH$ là đường cao, do đó: $$ AH = \frac{SA \cdot AB}{SB} = \frac{a \cdot a}{a\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = a \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Trong tam giác $SAD$, $AK$ là đường cao, do đó: $$ AK = \frac{SA \cdot AD}{SD} = \frac{a \cdot a}{a\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = a \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Do đó, $HK$ cũng là đoạn thẳng nằm trong tam giác vuông $AHK$ với $AH = AK = a \frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra: $$ HK = a \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Phát biểu d) Thiết diện khi cắt hình chóp $SABCD$ bởi mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $SC$ có diện tích là $a^2 \frac{\sqrt{3}}{3}$ - Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $SC$ sẽ cắt các cạnh $SB$, $SD$ và $SC$ tại các điểm $H$, $K$ và $L$ tương ứng. - Thiết diện là tam giác $AHK$. Diện tích tam giác $AHK$ là: $$ S_{AHK} = \frac{1}{2} \times AH \times AK = \frac{1}{2} \times a \frac{\sqrt{2}}{2} \times a \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4} $$ Nhưng theo đề bài, diện tích thiết diện là $a^2 \frac{\sqrt{3}}{3}$, nên phát biểu này sai. Kết luận Các phát biểu đúng là: - a) $AH \perp (SBC)$ - b) Góc giữa $SC$ và $(AHK)$ là $90^\circ$ - c) Độ dài đoạn thẳng $HK$ là $a \frac{\sqrt{2}}{2}$ Phát biểu d) sai. Đáp án: a, b, c Câu 1: Trước tiên, chúng ta sẽ tính diện tích của hình vuông $C_1$. Diện tích của hình vuông $C_1$ là: $$ S_1 = a^2 $$ Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét hình vuông $C_2$. Mỗi cạnh của hình vuông $C_1$ được chia thành bốn phần bằng nhau, tức là mỗi phần có độ dài là $\frac{a}{4}$. Khi nối các điểm chia này một cách thích hợp, ta nhận được hình vuông $C_2$. Ta thấy rằng, cạnh của hình vuông $C_2$ là đoạn thẳng nối giữa hai điểm chia ở hai cạnh kề nhau của hình vuông $C_1$. Ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tính độ dài cạnh của hình vuông $C_2$. Cạnh của hình vuông $C_2$ là: $$ \text{Cạnh của } C_2 = \sqrt{\left(\frac{a}{4}\right)^2 + \left(\frac{a}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{16} + \frac{a^2}{16}} = \sqrt{\frac{2a^2}{16}} = \sqrt{\frac{a^2}{8}} = \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{4} $$ Diện tích của hình vuông $C_2$ là: $$ S_2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{16} = \frac{a^2}{8} $$ Tương tự, ta có thể tiếp tục quá trình này để tính diện tích của các hình vuông tiếp theo trong dãy. Ta nhận thấy rằng diện tích của mỗi hình vuông tiếp theo giảm đi một nửa so với diện tích của hình vuông trước đó. Do đó, diện tích của hình vuông $C_n$ là: $$ S_n = \frac{a^2}{2^{n-1}} $$ Đáp số: $$ S_n = \frac{a^2}{2^{n-1}} $$