Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n >1 không phải là số chính phương. Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng mi...

Câu 1: Chứng minh rằng số có dạng \( n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2 \) trong đó \( n \in \mathbb{N} \) và \( n > 1 \) không phải là số chính phương. Giả sử \( n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2 \) là số chính phương. Ta có thể viết nó dưới dạng: \[ n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2 = k^2 \] với \( k \) là số tự nhiên nào đó. Ta sẽ xét biểu thức này theo từng trường hợp: - Trường hợp 1: \( n \) là số lẻ. - \( n^6 \) là số lẻ. - \( n^4 \) là số lẻ. - \( 2n^3 \) là số chẵn. - \( 2n^2 \) là số chẵn. - Tổng của các số lẻ và các số chẵn là số lẻ. Do đó, \( n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2 \) là số lẻ. - Trường hợp 2: \( n \) là số chẵn. - \( n^6 \) là số chẵn. - \( n^4 \) là số chẵn. - \( 2n^3 \) là số chẵn. - \( 2n^2 \) là số chẵn. - Tổng của các số chẵn là số chẵn. Do đó, \( n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2 \) là số chẵn. Bây giờ, ta xét tính chất của số chính phương: - Số chính phương của một số lẻ là số lẻ. - Số chính phương của một số chẵn là số chẵn. Do đó, nếu \( n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2 \) là số chính phương, nó phải là số lẻ khi \( n \) là số lẻ và là số chẵn khi \( n \) là số chẵn. Tuy nhiên, ta thấy rằng: \[ n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2 = n^4(n^2 - 1) + 2n^2(n + 1) \] - Khi \( n \) là số lẻ, \( n^2 - 1 \) là số chẵn, do đó \( n^4(n^2 - 1) \) là số chẵn. - Khi \( n \) là số chẵn, \( n^2 - 1 \) là số lẻ, do đó \( n^4(n^2 - 1) \) là số chẵn. Vì vậy, \( n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2 \) luôn là số chẵn, nhưng không phải là số chính phương vì nó không thể là số chính phương của một số lẻ. Kết luận: Số có dạng \( n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2 \) không phải là số chính phương. Câu 2: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương. Ta biết rằng các số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì có dạng \( (10k + 4)^2 \) hoặc \( (10k + 6)^2 \). - \( (10k + 4)^2 = 100k^2 + 80k + 16 \) - \( (10k + 6)^2 = 100k^2 + 120k + 36 \) Chữ số hàng chục của \( (10k + 4)^2 \) là chữ số hàng đơn vị của \( 8k \). Chữ số hàng chục của \( (10k + 6)^2 \) là chữ số hàng đơn vị của \( 12k + 3 \). Vì có 5 số chính phương có chữ số hàng chục khác nhau, nên các chữ số hàng chục của chúng phải là 0, 1, 2, 3, 4 hoặc 5, 6, 7, 8, 9. Tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là: \[ 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \] hoặc \[ 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35 \] Tuy nhiên, ta thấy rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó phải là một số chính phương. Vì vậy, tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là 10 hoặc 35, nhưng chỉ có 10 là số chính phương. Kết luận: Tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương.