giải chi tiết ạ

Câu 7: Để tìm phương trình đường thẳng MN trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ MN: Vectơ MN được xác định bởi: \[ \overrightarrow{MN} = N - M = (1 - (-1); 3 - (-1); 4 - 2) = (2; 4; 2) \] 2. Lập phương trình tham số của đường thẳng MN: Đường thẳng MN đi qua điểm M(-1; -1; 2) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{MN} = (2; 4; 2)\). Phương trình tham số của đường thẳng MN là: \[ \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = -1 + 4t \\ z = 2 + 2t \end{cases} \] với \( t \) là tham số. 3. Lập phương trình đại lượng của đường thẳng MN: Từ phương trình tham số, ta có thể viết phương trình đại lượng của đường thẳng MN dưới dạng: \[ \frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{2} \] Vậy phương trình đường thẳng MN là: \[ \boxed{\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{2}} \] Câu 1: Để tính điểm trung bình môn Toán của các học sinh lớp 12A, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các khoảng và tần số tương ứng: - Nhóm [6;7): Điểm trung bình là 6,9 với tần số là 2. - Nhóm [7;8): Điểm trung bình là 7,5 với tần số là 8. - Nhóm [8;9): Điểm trung bình là 8,5 với tần số là 18. - Nhóm [9;10]: Điểm trung bình là 9,5 với tần số là 12. 2. Tính tổng số điểm của mỗi nhóm: - Nhóm [6;7): Tổng điểm = 6,9 × 2 = 13,8 - Nhóm [7;8): Tổng điểm = 7,5 × 8 = 60 - Nhóm [8;9): Tổng điểm = 8,5 × 18 = 153 - Nhóm [9;10]: Tổng điểm = 9,5 × 12 = 114 3. Tính tổng số điểm của tất cả các nhóm: Tổng điểm = 13,8 + 60 + 153 + 114 = 340,8 4. Tính tổng số học sinh: Tổng số học sinh = 2 + 8 + 18 + 12 = 40 5. Tính điểm trung bình môn Toán của lớp: Điểm trung bình = Tổng điểm / Tổng số học sinh = 340,8 / 40 = 8,52 Vậy điểm trung bình môn Toán của các học sinh lớp 12A là 8,52. Câu 8: Để giải bất phương trình \(3^{3x+1} < \frac{1}{9}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại bất phương trình dưới dạng cùng cơ số: \[ 3^{3x+1} < 3^{-2} \] 2. So sánh các mũ của cùng cơ số: Vì cơ số \(3\) là số dương lớn hơn 1, nên ta có: \[ 3x + 1 < -2 \] 3. Giải bất phương trình tuyến tính: \[ 3x + 1 < -2 \\ 3x < -2 - 1 \\ 3x < -3 \\ x < -1 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ (-\infty; -1) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~(-\infty; -1) \] Câu 9: Để giải bất phương trình $\log_{as}(x-1) > -3$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_{as}(x-1) > -3$, ta cần đảm bảo rằng $x-1 > 0$. Do đó: \[ x > 1 \] 2. Giải bất phương trình: - Bất phương trình $\log_{as}(x-1) > -3$ có thể được viết lại dưới dạng: \[ \log_{as}(x-1) > \log_{as}(as^{-3}) \] - Vì $\log_{as}(x-1) > \log_{as}(as^{-3})$, ta có: \[ x-1 > as^{-3} \] - Điều này dẫn đến: \[ x > 1 + as^{-3} \] 3. Kết hợp điều kiện xác định: - Ta đã có điều kiện $x > 1$. Kết hợp với điều kiện mới $x > 1 + as^{-3}$, ta nhận thấy rằng $1 + as^{-3} > 1$ vì $as^{-3} > 0$. Do đó, điều kiện mạnh hơn là: \[ x > 1 + as^{-3} \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình $\log_{as}(x-1) > -3$ là: \[ (1 + as^{-3}, +\infty) \] Câu 2: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x - \sin x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi thành phần trong hàm số này. 1. Tìm nguyên hàm của \( x \): \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 \] 2. Tìm nguyên hàm của \( -\sin x \): \[ \int -\sin x \, dx = \cos x + C_2 \] Kết hợp hai kết quả trên lại, ta có: \[ \int (x - \sin x) \, dx = \frac{x^2}{2} + \cos x + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân. Do đó, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x - \sin x \) là: \[ \frac{x^2}{2} + \cos x + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\text{D.} \frac{x^2}{2} + \cos x + C} \] Câu 10: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) được cho là: \[ x + y - \frac{z}{2} = 1 \] Để tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), ta dựa vào phương trình tổng quát của mặt phẳng \( ax + by + cz = d \). Trong đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có dạng \( \vec{n} = (a, b, c) \). So sánh phương trình \( x + y - \frac{z}{2} = 1 \) với phương trình tổng quát \( ax + by + cz = d \), ta nhận thấy rằng: - \( a = 1 \) - \( b = 1 \) - \( c = -\frac{1}{2} \) Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \[ \vec{n} = \left(1, 1, -\frac{1}{2}\right) \] Đáp số: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \( \vec{n} = \left(1, 1, -\frac{1}{2}\right) \). Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của trọng tâm và vectơ trong không gian. 1. Tìm trọng tâm A' của tam giác BCD: Trọng tâm A' của tam giác BCD được xác định bởi: \[ \overrightarrow{A'} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{3} \] 2. Xác định điểm G thỏa mãn điều kiện: Điểm G thỏa mãn: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0} \] Điều này có nghĩa là G là trọng tâm của tứ diện ABCD. 3. Tính tỉ số \(\frac{GA}{GA'}\): Trọng tâm G của tứ diện ABCD chia mỗi đoạn thẳng từ đỉnh đến trọng tâm của mặt đối diện theo tỉ số 3:1. Do đó, G chia đoạn thẳng từ A đến A' theo tỉ số 3:1. Vậy tỉ số \(\frac{GA}{GA'}\) là: \[ \frac{GA}{GA'} = \frac{1}{3} \] Đáp án đúng là: \[ D.~\frac{1}{3}. \] Câu 11: Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và BB', ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hình chiếu trực giao của điểm C' lên mặt phẳng (ABB'A'): - Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ tam giác đều, nên các mặt đáy ABC và A'B'C' là các tam giác đều và các cạnh bên AA', BB', CC' vuông góc với các mặt đáy. - Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BB'. Ta có C'H vuông góc với mặt phẳng (ABB'A') tại H. 2. Tìm khoảng cách từ điểm C' đến đường thẳng BB': - Khoảng cách từ điểm C' đến đường thẳng BB' chính là độ dài đoạn thẳng C'H. - Trong tam giác đều ABC, ta có độ dài đường cao từ đỉnh C xuống đáy AB là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. - Vì C' là đỉnh của lăng trụ tam giác đều, nên C'H cũng là đường cao của tam giác đều ABB' và có độ dài là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. 3. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và BB': - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và BB' chính là khoảng cách từ điểm C' đến đường thẳng BB'. - Như đã tính ở trên, khoảng cách này là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và BB' là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị. 2. Tìm các hệ số của hàm số dựa vào các điểm đã xác định. 3. Tính diện tích tam giác OAB. Bước 1: Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị - Điểm A là giao điểm của đồ thị với trục hoành (y = 0). Từ đồ thị, ta thấy điểm A có tọa độ là $(1, 0)$. - Điểm B là giao điểm của đồ thị với trục tung (x = 0). Từ đồ thị, ta thấy điểm B có tọa độ là $(0, -a)$. - Điểm O là gốc tọa độ (0, 0). Bước 2: Tìm các hệ số của hàm số Hàm số đã cho là $y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n}$. Ta biết rằng: - Tại điểm A (1, 0): $\frac{a(1)^2 + b(1) + c}{m(1) + n} = 0 \Rightarrow a + b + c = 0$. - Tại điểm B (0, -a): $\frac{a(0)^2 + b(0) + c}{m(0) + n} = -a \Rightarrow \frac{c}{n} = -a \Rightarrow c = -an$. Từ đây, ta có: \[ a + b - an = 0 \Rightarrow b = an - a \] Bước 3: Tính diện tích tam giác OAB Diện tích tam giác OAB được tính bằng công thức: \[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \times OA \times OB \] Trong đó: - OA là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm A, tức là 1. - OB là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm B, tức là |a|. Do đó: \[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \times 1 \times |a| = \frac{|a|}{2} \] Vì a là hệ số của bậc hai trong đa thức và thường là số dương trong ngữ cảnh này, ta có: \[ S_{OAB} = \frac{a}{2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\frac{a}{2} \] Câu 12: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục Ox và các đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \), ta sử dụng công thức tích phân. Cụ thể, diện tích \( A \) được tính bằng: \[ A = \left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \] Trong đó: - \( f(x) \) là hàm số liên tục trên đoạn \([a; b]\). - \( \int_a^b f(x) \, dx \) là tích phân của hàm số \( f(x) \) từ \( x = a \) đến \( x = b \). Do đó, đáp án đúng là: \[ B. \int_1^2 |f(x)| \, dx \] Lý do: - Đáp án \( A \) sai vì tích phân từ 0 đến 0 luôn bằng 0. - Đáp án \( C \) sai vì nó liên quan đến công thức tính thể tích của khối tròn xoay, không phải diện tích. - Đáp án \( D \) sai vì nó không có ý nghĩa trong ngữ cảnh này. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B. \int_1^2 |f(x)| \, dx} \] Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số $y = f(x) = (x^2 - 5x + 7)e^x$ là hàm số đa thức nhân với hàm số mũ, do đó nó xác định trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$. Bước 2: Tìm giá trị của hàm số tại điểm $x=0$ $f(0) = (0^2 - 5 \cdot 0 + 7)e^0 = 7 \cdot 1 = 7$ Bước 3: Tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số Đường tiệm cận xiên của hàm số $y = f(x)$ có dạng $y = ax + b$, trong đó: \[ a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \] \[ b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - ax] \] Tính giới hạn: \[ a = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 - 5x + 7)e^x}{x} = \lim_{x \to \infty} \left( x - 5 + \frac{7}{x} \right) e^x \] Do $e^x$ tăng nhanh hơn bất kỳ đa thức nào, nên: \[ a = \lim_{x \to \infty} \left( x - 5 + \frac{7}{x} \right) e^x = \infty \] Vì vậy, hàm số không có đường tiệm cận xiên. Bước 4: Xét tính chất biến thiên của hàm số Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}[(x^2 - 5x + 7)e^x] \] \[ f'(x) = (2x - 5)e^x + (x^2 - 5x + 7)e^x \] \[ f'(x) = e^x (x^2 - 3x + 2) \] Xét dấu của đạo hàm: \[ f'(x) = e^x (x^2 - 3x + 2) \] Phương trình $x^2 - 3x + 2 = 0$ có hai nghiệm: \[ x = 1 \quad \text{và} \quad x = 2 \] Do đó, $f'(x) > 0$ khi $x < 1$ hoặc $x > 2$, và $f'(x) < 0$ khi $1 < x < 2$. Vậy hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(1, 2)$ và đồng biến trên các khoảng $(-\infty, 1)$ và $(2, +\infty)$. Kết luận - Đáp án đúng là: $a)~f(0)=7$ - Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng: Không có đường tiệm cận xiên. - Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(1, 2)$ và đồng biến trên các khoảng $(-\infty, 1)$ và $(2, +\infty)$. Câu 5: Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) Tìm số hạng \( u_5 \) của cấp số nhân Cấp số nhân có công thức tổng quát: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Trong đó: - \( u_1 = 2 \) - \( u_6 = -64 \) Ta có: \[ u_6 = u_1 \cdot q^5 \] \[ -64 = 2 \cdot q^5 \] \[ q^5 = -32 \] \[ q = -2 \] Bây giờ, ta tìm \( u_5 \): \[ u_5 = u_1 \cdot q^4 \] \[ u_5 = 2 \cdot (-2)^4 \] \[ u_5 = 2 \cdot 16 \] \[ u_5 = 32 \] Phần b) Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([0;2]\) Giả sử hàm số \( y = f(x) \) có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn \([0;2]\) lần lượt là 7 và 3. Ta cần kiểm tra lại các giá trị này. Phần c) Đạo hàm của hàm số \( f(x) \) Giả sử hàm số \( f(x) \) có dạng \( f(x) = (2x - 5)e^x \). Ta tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}[(2x - 5)e^x] \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích: \[ f'(x) = (2x - 5)' e^x + (2x - 5) (e^x)' \] \[ f'(x) = 2e^x + (2x - 5)e^x \] \[ f'(x) = (2 + 2x - 5)e^x \] \[ f'(x) = (2x - 3)e^x \] Kết luận a) Số hạng \( u_5 \) của cấp số nhân là 32. b) Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([0;2]\) lần lượt là 3 và 7. c) Đạo hàm của hàm số \( f(x) = (2x - 5)e^x \) là \( f'(x) = (2x - 3)e^x \). Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào bảng xét dấu đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \). Bảng xét dấu đạo hàm cho biết các điểm cực trị và khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Bước 1: Xác định các điểm cực trị - Từ bảng xét dấu đạo hàm, ta thấy \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương tại \( x = -2 \). Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại \( x = -2 \). - \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm tại \( x = 1 \). Do đó, hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \). Bước 2: Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến - \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (-2, 1) \). Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này. - \( f'(x) < 0 \) trên các khoảng \( (-\infty, -2) \) và \( (1, +\infty) \). Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng này. Tóm lại: - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = -2 \). - Hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \). - Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-2, 1) \). - Hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty, -2) \) và \( (1, +\infty) \). Đáp số: - Cực tiểu tại \( x = -2 \) - Cực đại tại \( x = 1 \) - Đồng biến trên \( (-2, 1) \) - Nghịch biến trên \( (-\infty, -2) \) và \( (1, +\infty) \)