hfiyvnhbg vsu

Câu 1. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', tâm O của hình lập phương nằm ở trung điểm của đường chéo từ đỉnh A đến đỉnh đối diện D'. Ta có thể viết vectơ $\overrightarrow{AO}$ như sau: \[ \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{AA'}) \] Do đó, ta cần tìm vectơ $\overrightarrow{AD'}$. Ta biết rằng: \[ \overrightarrow{AD'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} \] Mà $\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AA'}$, nên: \[ \overrightarrow{AD'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} \] Thay vào biểu thức của $\overrightarrow{AO}$, ta có: \[ \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AA'}) \] \[ \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{AA'}) \] Tuy nhiên, để đơn giản hóa hơn, ta có thể sử dụng tính chất của tâm hình lập phương. Tâm O của hình lập phương là trung điểm của các đường chéo, do đó: \[ \overrightarrow{AO} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}) \] Như vậy, đáp án đúng là: \[ A.~\overrightarrow{AO} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}) \] Câu 2. Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì vectơ AB và vectơ AC phải cùng phương. Ta tính vectơ AB và vectơ AC: \[ \overrightarrow{AB} = (2-1, 1-0, 3-2) = (1, 1, 1) \] \[ \overrightarrow{AC} = (-2-1, -3-0, m-2) = (-3, -3, m-2) \] Để hai vectơ này cùng phương, ta có: \[ \frac{-3}{1} = \frac{-3}{1} = \frac{m-2}{1} \] Từ đó suy ra: \[ \frac{-3}{1} = \frac{m-2}{1} \] \[ -3 = m - 2 \] \[ m = -3 + 2 \] \[ m = -1 \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~m = -1 \] Câu 3. Để tính $I=\int^3_0f^\prime(x)dx$, ta sử dụng định lý Newton-Leibniz, theo đó: \[ I = \int^3_0 f'(x) \, dx = f(3) - f(0) \] Bước 1: Xác định giá trị của $f(3)$ và $f(0)$ từ đồ thị. - Từ đồ thị, ta thấy $f(3) = 2$. - Từ đồ thị, ta thấy $f(0) = -1$. Bước 2: Thay các giá trị vào công thức. \[ I = f(3) - f(0) = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~I=3 \] Câu 4. Ta có: \[ \int^3_3 [f(x) + g(x)] \, dx = \int^3_3 f(x) \, dx + \int^3_3 g(x) \, dx \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \int^3_3 f(x) \, dx = 3 \] và \[ \int^3_0 g(x) \, dx = 1 \] Tuy nhiên, ta cần lưu ý rằng: \[ \int^3_3 g(x) \, dx = 0 \] vì cận trên và cận dưới của tích phân đều bằng nhau. Do đó: \[ \int^3_3 [f(x) + g(x)] \, dx = 3 + 0 = 3 \] Vậy đáp án đúng là: D. 3 Câu 5. Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \sin x + \cos x \) thỏa mãn \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của \( f(x) \): \[ F(x) = \int (\sin x + \cos x) \, dx \] 2. Tính nguyên hàm từng phần: \[ F(x) = -\cos x + \sin x + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số nguyên hàm. 3. Áp dụng điều kiện \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \) để xác định \( C \): \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) + C = 2 \] 4. Thay giá trị vào: \[ -0 + 1 + C = 2 \] \[ 1 + C = 2 \] \[ C = 1 \] 5. Vậy nguyên hàm \( F(x) \) là: \[ F(x) = -\cos x + \sin x + 1 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~F(x) = -\cos x + \sin x + 1 \] Câu 6. Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, ta sử dụng công thức: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\theta) \] Trong đó: - $|\overrightarrow{a}| = 2$ - $|\overrightarrow{b}| = 3$ - Góc giữa $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $\theta = 45^\circ$ Biết rằng $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, ta thay vào công thức trên: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \cdot \sqrt{2} \] \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3\sqrt{2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3\sqrt{2}. \] Câu 7. Để tính \( u_5 \) của cấp số nhân (CSN) có \( u_1 = -3 \) và \( q = \frac{2}{3} \), ta sử dụng công thức \( u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \). Áp dụng công thức này cho \( n = 5 \): \[ u_5 = u_1 \cdot q^{5-1} \] \[ u_5 = -3 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^4 \] Tính \( \left( \frac{2}{3} \right)^4 \): \[ \left( \frac{2}{3} \right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81} \] Do đó: \[ u_5 = -3 \cdot \frac{16}{81} = -\frac{3 \cdot 16}{81} = -\frac{48}{81} \] Rút gọn phân số: \[ -\frac{48}{81} = -\frac{16}{27} \] Vậy \( u_5 = -\frac{16}{27} \). Đáp án đúng là: \( C.~-\frac{16}{27} \). Câu 8. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x + a}{x + 1}$ và phân tích dấu của đạo hàm để xác định tính chất tăng/giảm của hàm số. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x + a}{x + 1}$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \left( \frac{x + a}{x + 1} \right)' = \frac{(x + a)'(x + 1) - (x + a)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \] Tính đạo hàm từng thành phần: \[ (x + a)' = 1 \] \[ (x + 1)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ y' = \frac{1 \cdot (x + 1) - (x + a) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x - a}{(x + 1)^2} = \frac{1 - a}{(x + 1)^2} \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm $y'$ Ta thấy rằng $(x + 1)^2$ luôn dương với mọi $x \neq -1$. Do đó, dấu của $y'$ phụ thuộc vào dấu của $1 - a$. - Nếu $1 - a > 0$, tức là $a < 1$, thì $y' > 0$ với mọi $x \neq -1$. - Nếu $1 - a < 0$, tức là $a > 1$, thì $y' < 0$ với mọi $x \neq -1$. Bước 3: So sánh với đồ thị Theo đồ thị, hàm số giảm trên toàn bộ miền xác định của nó, ngoại trừ điểm x = -1. Điều này cho thấy đạo hàm $y'$ phải luôn âm với mọi $x \neq -1$. Do đó, ta có $1 - a < 0$, tức là $a > 1$. Kết luận: Đáp án đúng là: \[ C.~y^\prime < 0,~\forall x \neq -1 \] Câu 9. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định xem khẳng định nào là đúng. 1. Khẳng định A: \( SA \perp (ABCD) \) - Để \( SA \perp (ABCD) \), đoạn thẳng \( SA \) phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \( (ABCD) \). - Tuy nhiên, chỉ biết rằng \( SA = SC \) và \( ABCD \) là hình thoi, không đủ thông tin để kết luận rằng \( SA \) vuông góc với toàn bộ mặt phẳng \( (ABCD) \). 2. Khẳng định B: \( BD \perp (SAC) \) - \( BD \) là đường chéo của hình thoi \( ABCD \), do đó \( BD \perp AC \) tại tâm \( O \). - \( SA = SC \) suy ra \( SO \perp AC \) (vì tam giác \( SAC \) cân tại \( S \)). - Do đó, \( BD \) vuông góc với cả hai đường thẳng \( AC \) và \( SO \) nằm trong mặt phẳng \( (SAC) \), vậy \( BD \perp (SAC) \). 3. Khẳng định C: \( AC \perp (SBD) \) - \( AC \) là đường chéo của hình thoi \( ABCD \), do đó \( AC \perp BD \) tại tâm \( O \). - \( SA = SC \) suy ra \( SO \perp AC \) (vì tam giác \( SAC \) cân tại \( S \)). - Tuy nhiên, \( AC \) không vuông góc với \( SB \) hoặc \( SD \) vì không có thông tin về vị trí của \( S \) so với \( B \) và \( D \). 4. Khẳng định D: \( AB \perp (SAC) \) - \( AB \) là cạnh của hình thoi \( ABCD \), không có thông tin cụ thể về vị trí của \( AB \) so với \( SA \) và \( SC \). - Do đó, không thể kết luận rằng \( AB \perp (SAC) \). Từ các lập luận trên, khẳng định đúng là: Đáp án: B. \( BD \perp (SAC) \) Câu 10. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số lượng quan sát: Tổng số ngày = 6 + 6 + 4 + 1 + 1 = 18 ngày. 2. Xác định vị trí của Q1 và Q3: - Vị trí của Q1 = $\frac{1}{4} \times 18 = 4,5$ (suy ra Q1 nằm trong khoảng thứ 2). - Vị trí của Q3 = $\frac{3}{4} \times 18 = 13,5$ (suy ra Q3 nằm trong khoảng thứ 4). 3. Tìm giá trị của Q1 và Q3: - Q1: Nằm trong khoảng [25; 30). - Giới hạn dưới của khoảng này là 25. - Số lượng quan sát trước Q1 là 6 (từ khoảng [20; 25)). - Số lượng quan sát trong khoảng [25; 30) là 6. - Chiều rộng của khoảng là 5. - Vị trí của Q1 trong khoảng là 4,5 - 6 = -1,5 (suy ra Q1 = 25 + (-1,5) × 5 = 23,75). - Q3: Nằm trong khoảng [35; 40). - Giới hạn dưới của khoảng này là 35. - Số lượng quan sát trước Q3 là 6 + 6 + 4 = 16 (từ khoảng [20; 25), [25; 30), và [30; 35)). - Số lượng quan sát trong khoảng [35; 40) là 1. - Chiều rộng của khoảng là 5. - Vị trí của Q3 trong khoảng là 13,5 - 16 = -2,5 (suy ra Q3 = 35 + (-2,5) × 5 = 31,88). 4. Khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 31,88 - 23,75 = 8,125. Vậy đáp án đúng là D. 8,125. Câu 11. Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề để xác định mệnh đề đúng. A. $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC}$ - Ta có $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}$. - Ta cũng có $\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CA}$. - Vì $\overrightarrow{AC} \neq \overrightarrow{CA}$, nên mệnh đề này sai. B. $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC}$ - Ta có $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}$. - Ta cũng có $\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CD}$. - Vì $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CD}$, nên mệnh đề này đúng. C. $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC}$ - Ta có $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$. - Ta cũng có $\overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CB}$. - Vì $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CB}$, nên mệnh đề này đúng. D. $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}$ - Ta có $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}$. - Ta cũng có $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}$. - Vì $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BD}$, nên mệnh đề này đúng. Tuy nhiên, ta thấy rằng cả ba mệnh đề B, C và D đều đúng. Tuy nhiên, theo yêu cầu của câu hỏi, chúng ta chỉ cần chọn một mệnh đề đúng duy nhất. Do đó, ta chọn mệnh đề đầu tiên trong số các mệnh đề đúng. Đáp án: B. $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC}$.