Giuo voi ạ

Câu 4. Để tìm phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1; -1; 3)\) và song song với đường thẳng \(d_1: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z+3}{-1}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d_1\): Đường thẳng \(d_1\) có phương trình tham số là: \[ \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z+3}{-1} \] Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của \(d_1\) là \(\vec{u} = (2, 1, -1)\). 2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): Vì đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \(d_1\), nên vectơ chỉ phương của \(d\) cũng là \(\vec{u} = (2, 1, -1)\). 3. Lập phương trình tham số của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1, -1, 3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (2, 1, -1)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 3 - t \end{array} \right. \] So sánh với các phương án đã cho, ta thấy phương án đúng là: \[ D. \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 3 - t \end{array} \right. \] Vậy đáp án đúng là \(D\). Câu 5. Để tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-8x+2y+1=0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình dưới dạng tổng bình phương hoàn chỉnh: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\), \(y\) và \(z\) lại: \[ x^2 - 8x + y^2 + 2y + z^2 + 1 = 0 \] 2. Hoàn chỉnh bình phương cho các nhóm \(x\), \(y\) và \(z\): - Với \(x\): \[ x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16 \] - Với \(y\): \[ y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1 \] - Với \(z\): \[ z^2 = z^2 \] 3. Thay vào phương trình ban đầu: \[ (x - 4)^2 - 16 + (y + 1)^2 - 1 + z^2 + 1 = 0 \] \[ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 + z^2 - 16 = 0 \] \[ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 16 \] 4. So sánh với phương trình chuẩn của mặt cầu \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\): Ta thấy rằng: \[ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 4^2 \] Từ đó, ta suy ra: - Tọa độ tâm \(I\) của mặt cầu là \((4, -1, 0)\) - Bán kính \(R\) của mặt cầu là \(4\) Vậy đáp án đúng là: \[ C.~I(4;-1;0),~R=4. \] Câu 6. Để giải bất phương trình $\log_{\frac12}(x+1) \leq \log_{\frac12}(2x-1)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Để các biểu thức logarit có nghĩa, ta cần: \[ x + 1 > 0 \quad \text{và} \quad 2x - 1 > 0 \] Giải các bất phương trình này: \[ x > -1 \] \[ 2x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{2} \] Vậy ĐKXĐ là: \[ x > \frac{1}{2} \] Bước 2: So sánh các biểu thức logarit Vì cơ số của logarit là $\frac{1}{2}$ (một số nhỏ hơn 1), nên hàm logarit giảm. Do đó, nếu $\log_{\frac12}(x+1) \leq \log_{\frac12}(2x-1)$ thì ta có: \[ x + 1 \geq 2x - 1 \] Bước 3: Giải bất phương trình Giải bất phương trình: \[ x + 1 \geq 2x - 1 \] \[ 1 + 1 \geq 2x - x \] \[ 2 \geq x \] \[ x \leq 2 \] Bước 4: Kết hợp điều kiện xác định Ta đã có ĐKXĐ là $x > \frac{1}{2}$ và từ bất phương trình ta có $x \leq 2$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ \left( \frac{1}{2}, 2 \right] \] Đáp án: D. $(\frac{1}{2}; 2]$ Câu 7. Ta có: \[ \int_a^b f'(x) \, dx = f(x) \Big|_a^b = f(b) - f(a) \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ f(b) - f(a) = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4 \] Vậy $\int_a^b f'(x) \, dx = 4$. Đáp án đúng là: C. 4. Câu 8. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin x + 2x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi thành phần trong tổng này. 1. Tìm nguyên hàm của \( \sin x \): \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_1 \] 2. Tìm nguyên hàm của \( 2x \): \[ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2 = x^2 + C_2 \] Kết hợp hai kết quả trên lại, ta có: \[ \int (\sin x + 2x) \, dx = -\cos x + x^2 + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân. Do đó, họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin x + 2x \) là: \[ -\cos x + x^2 + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~-\cos x + x^2 + C \] Câu 9. Mặt phẳng $(P):~x+y-\frac z2=1$ có dạng tổng quát là $ax + by + cz + d = 0$. Ta thấy rằng phương trình này đã được viết dưới dạng tổng quát với $a = 1$, $b = 1$, $c = -\frac{1}{2}$ và $d = -1$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ sẽ có dạng $(a, b, c)$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $(1, 1, -\frac{1}{2})$. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, ta cần tìm một vectơ pháp tuyến tương đương với $(1, 1, -\frac{1}{2})$. Ta có thể nhân cả ba thành phần của vectơ pháp tuyến này với cùng một hằng số để tìm ra vectơ pháp tuyến tương đương. Nhân cả ba thành phần của vectơ pháp tuyến $(1, 1, -\frac{1}{2})$ với 2, ta được: \[ (1 \times 2, 1 \times 2, -\frac{1}{2} \times 2) = (2, 2, -1) \] Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (2, 2, -1)$. Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\overrightarrow{n} = (2, 2, -1) \] Câu 10. Trước tiên, ta cần tìm chiều cao SA của hình chóp S.ABCD. Do SA vuông góc với mặt đáy ABCD, nên góc SD với mặt đáy ABCD chính là góc giữa SD và hình chiếu của SD lên mặt đáy, tức là góc SDA. Ta có: \[ \angle SDA = 30^\circ \] Trong tam giác vuông SAD, ta có: \[ \sin(30^\circ) = \frac{SA}{SD} \] Biết rằng $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, ta có: \[ \frac{1}{2} = \frac{SA}{SD} \] Suy ra: \[ SA = \frac{SD}{2} \] Tiếp theo, ta cần tìm độ dài SD. Trong tam giác vuông SAD, ta có: \[ SD^2 = SA^2 + AD^2 \] Biết rằng AD = a (vì ABCD là hình vuông cạnh a), ta thay vào: \[ SD^2 = SA^2 + a^2 \] Từ trên, ta đã biết $SA = \frac{SD}{2}$, thay vào ta có: \[ SD^2 = \left(\frac{SD}{2}\right)^2 + a^2 \] \[ SD^2 = \frac{SD^2}{4} + a^2 \] Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ mẫu số: \[ 4SD^2 = SD^2 + 4a^2 \] \[ 3SD^2 = 4a^2 \] \[ SD^2 = \frac{4a^2}{3} \] \[ SD = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3} \] Bây giờ, ta tính SA: \[ SA = \frac{SD}{2} = \frac{\frac{2a\sqrt{3}}{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \] Thể tích V của khối chóp S.ABCD được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] Diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = a^2 \] Chiều cao SA là: \[ SA = \frac{a\sqrt{3}}{3} \] Vậy thể tích V là: \[ V = \frac{1}{3} \times a^2 \times \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a^3\sqrt{3}}{9} \] Đáp án đúng là: \[ A.~V=\frac{\sqrt3a^3}9 \] Câu 11. Để xác định số hạng thứ ba của cấp số nhân $(u_n)$, ta sử dụng công thức của cấp số nhân: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Trong đó: - \( u_1 \) là số hạng đầu tiên, - \( q \) là công bội, - \( n \) là số thứ tự của số hạng. Ở đây, \( u_1 = 2 \), \( q = 3 \), và ta cần tìm \( u_3 \). Áp dụng công thức trên vào số hạng thứ ba (\( n = 3 \)): \[ u_3 = u_1 \cdot q^{3-1} \] \[ u_3 = 2 \cdot 3^2 \] \[ u_3 = 2 \cdot 9 \] \[ u_3 = 18 \] Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân $(u_n)$ là 18. Đáp án đúng là: \( A.~u_3=18 \). Câu 12. Để tính giá trị trung bình của mẫu dữ liệu, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm của mỗi khoảng: - Trung điểm của khoảng [2,7; 3,0) là $\frac{2,7 + 3,0}{2} = 2,85$ - Trung điểm của khoảng [3,0; 3,3) là $\frac{3,0 + 3,3}{2} = 3,15$ - Trung điểm của khoảng [3,3; 3,6) là $\frac{3,3 + 3,6}{2} = 3,45$ - Trung điểm của khoảng [3,6; 3,9) là $\frac{3,6 + 3,9}{2} = 3,75$ - Trung điểm của khoảng [3,9; 4,2) là $\frac{3,9 + 4,2}{2} = 4,05$ 2. Nhân trung điểm của mỗi khoảng với số lượng ngày tương ứng: - $2,85 \times 3 = 8,55$ - $3,15 \times 6 = 18,9$ - $3,45 \times 5 = 17,25$ - $3,75 \times 4 = 15$ - $4,05 \times 2 = 8,1$ 3. Tính tổng của các kết quả nhân ở bước 2: - Tổng = $8,55 + 18,9 + 17,25 + 15 + 8,1 = 77,8$ 4. Chia tổng này cho tổng số ngày: - Số ngày tổng cộng là 20 ngày. - Giá trị trung bình = $\frac{77,8}{20} = 3,89$ Do đó, giá trị trung bình của mẫu dữ liệu trên là 3,89. Đáp án đúng là: D. 3,39 Lời giải chi tiết: - Ta đã tính trung điểm của mỗi khoảng và nhân chúng với số lượng ngày tương ứng. - Sau đó, ta tính tổng của các kết quả nhân này và chia cho tổng số ngày để tìm giá trị trung bình. Vậy giá trị trung bình của mẫu dữ liệu trên là 3,89.