Câu 1.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Phương trình có điều kiện xác định là:
Bước 2: Chuyển đổi phương trình về cùng cơ số
Chúng ta biết rằng . Vì , nên:
Do đó, phương trình trở thành:
Bước 3: Gộp các biểu thức logarit
Bước 4: Chuyển đổi từ dạng logarit sang dạng số mũ
Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định
thỏa mãn điều kiện .
Kết luận
Phương trình có nghiệm duy nhất là . Tổng các nghiệm của phương trình là:
Đáp án đúng là: A. 6.
---
Phần 2: Xác định khoảng nghịch biến của hàm số
Hàm số có đạo hàm là . Đồ thị của cho thấy:
- trên khoảng và .
- trên khoảng .
Hàm số nghịch biến khi . Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng .
Đáp án đúng là: B. .
Câu 3..
Để tìm nguyên hàm của hàm số , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm nguyên hàm từng hạng tử riêng lẻ:
- Nguyên hàm của :
- Nguyên hàm của :
- Nguyên hàm của :
2. Gộp các nguyên hàm lại:
Do đó, nguyên hàm của hàm số là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 4.
Để xác định đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho.
1. Kiểm tra hàm số :
- Hàm số này có dạng phân thức, do đó nó có tiệm cận đứng tại (vì mẫu số bằng 0 tại điểm này).
- Để kiểm tra thêm, ta tính giới hạn khi :
- Vậy hàm số này có tiệm cận ngang là .
2. Kiểm tra hàm số :
- Hàm số này cũng có dạng phân thức, do đó nó có tiệm cận đứng tại .
- Để kiểm tra thêm, ta tính giới hạn khi :
- Vậy hàm số này có tiệm cận ngang là .
3. Kiểm tra hàm số :
- Đây là hàm đa thức bậc 3, không có tiệm cận đứng hoặc ngang.
4. Kiểm tra hàm số :
- Đây cũng là hàm đa thức bậc 3, không có tiệm cận đứng hoặc ngang.
Từ các kiểm tra trên, ta thấy rằng chỉ có hai hàm số và có tiệm cận đứng tại . Tuy nhiên, chỉ có hàm số có tiệm cận ngang là , phù hợp với đồ thị trong hình vẽ.
Do đó, đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số .
Đáp án đúng là: B. .
Câu 5.
Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục hoành được tính bằng công thức:
Trong đó:
- là hàm số liên tục, không âm trên đoạn .
- và là cận dưới và cận trên của đoạn.
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 6.
Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu:
- Ta tính tổng quãng đường đi bộ của ông An trong 20 ngày.
- Sau đó chia tổng này cho số ngày để tìm trung bình cộng.
2. Tính phương sai của mẫu số liệu:
- Ta tính bình phương của độ lệch giữa mỗi giá trị và trung bình cộng.
- Nhân mỗi bình phương này với tần suất tương ứng.
- Cộng tất cả các kết quả trên lại.
- Chia tổng này cho số lượng giá trị trừ đi 1 (vì đây là mẫu số liệu).
3. Tính độ lệch chuẩn:
- Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai.
Bây giờ, ta sẽ thực hiện từng bước cụ thể:
Bước 1: Tính trung bình cộng
Giả sử bảng thống kê quãng đường đi bộ của ông An trong 20 ngày như sau:
| Quãng đường (km) | Số ngày |
|------------------|---------|
| 3 | 4 |
| 4 | 6 |
| 5 | 5 |
| 6 | 3 |
| 7 | 2 |
Trung bình cộng được tính như sau:
Bước 2: Tính phương sai
Phương sai được tính như sau:
Trong đó:
- là tần suất của nhóm thứ i.
- là giá trị trung tâm của nhóm thứ i.
- là tổng số giá trị.
Ta tính từng phần:
Nhân với tần suất tương ứng:
Cộng tất cả:
Phương sai:
Bước 3: Tính độ lệch chuẩn
Độ lệch chuẩn :
Do đó, độ lệch chuẩn gần nhất với giá trị nào dưới đây là:
Đáp án: D. 0.36
Câu 7.
Để tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm đồng thời vuông góc với đoạn thẳng và trục , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm vectơ :
2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm:
Vì đường thẳng cần tìm vuông góc với cả và trục (vectơ đơn vị của trục là ), ta tính tích vector của hai vectơ này để tìm vectơ pháp tuyến:
3. Phương trình tham số của đường thẳng:
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ phương là :
So sánh với các phương án đã cho, ta thấy phương án đúng là:
Nhưng ta nhận thấy rằng trong phương án A, không đúng vì theo tính toán của chúng ta, .
Do đó, phương án đúng là:
Nhưng ta nhận thấy rằng trong phương án B, không đúng vì theo tính toán của chúng ta, .
Do đó, phương án đúng là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 8.
Để tìm phương trình đường tiệm cận xiên của hàm số , ta thực hiện phép chia đa thức như sau:
1. Phép chia đa thức:
Ta chia tử số cho mẫu số :
Kết quả của phép chia này sẽ cho ta dạng:
2. Xác định đường tiệm cận xiên:
Đường tiệm cận xiên của hàm số sẽ là phần bậc nhất của kết quả phép chia, tức là:
3. Xác định các hệ số từ đồ thị:
Từ đồ thị, ta thấy rằng đường tiệm cận xiên đi qua điểm và có độ dốc là 1. Do đó, ta có:
4. Kiểm tra đáp án:
So sánh với các phương án đã cho:
- A.
- B.
- C.
- D.
Đáp án đúng là A. .
Đáp án: A. .
Câu 9.
Để tìm phương trình mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm tọa độ các điểm A, B, C:
- Điểm A là hình chiếu của M trên trục Ox, do đó tọa độ của A là .
- Điểm B là hình chiếu của M trên trục Oy, do đó tọa độ của B là .
- Điểm C là hình chiếu của M trên trục Oz, do đó tọa độ của C là .
2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC):
- Vectơ .
- Vectơ .
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là tích vector của và :
Vậy .
3. Viết phương trình mặt phẳng (ABC):
- Phương trình mặt phẳng có dạng , trong đó là tọa độ của vectơ pháp tuyến .
- Thay tọa độ của điểm A vào phương trình để tìm :
- Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là:
Do đó, phương án đúng là:
Câu 10.
Để tìm giá trị của sin của góc nhị diện , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định các điểm và đường thẳng:
- Hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.
- Ta cần tìm góc giữa hai mặt phẳng và .
2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
- Giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng BD.
3. Xác định các vectơ pháp tuyến:
- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
4. Tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến:
- Góc giữa hai mặt phẳng chính là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.
5. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng :
- Chọn hai vectơ nằm trong mặt phẳng : và .
- .
- .
- Tích có hướng của hai vectơ này là:
- Vậy .
6. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng :
- Chọn hai vectơ nằm trong mặt phẳng : và .
- .
- .
- Tích có hướng của hai vectơ này là:
- Vậy .
7. Tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến:
- Góc giữa hai vectơ pháp tuyến và là góc giữa hai mặt phẳng.
- Ta có:
- .
- .
- Vậy:
- Do đó, .
8. Tính giá trị của sin góc nhị diện:
- Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng là .
- Vậy:
Tuy nhiên, do tính toán sai lầm ở trên, ta cần kiểm tra lại. Thực tế, góc giữa hai vectơ pháp tuyến là , do đó:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 11.
Để giải bất phương trình , chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Bất phương trình này không chứa các yếu tố yêu cầu điều kiện xác định cụ thể, vì luôn có nghĩa với mọi giá trị của .
2. So sánh hai vế của bất phương trình:
- Ta nhận thấy rằng . Do đó, khi lũy thừa một số nhỏ hơn 1 với một số âm hoặc số 0, kết quả sẽ lớn hơn 1. Ngược lại, khi lũy thừa một số nhỏ hơn 1 với một số dương, kết quả sẽ nhỏ hơn 1.
3. Phân tích bất phương trình:
- Ta cần tìm giá trị của sao cho .
- Vì , nên để , ta cần phải nhỏ hơn 0 (vì lũy thừa một số nhỏ hơn 1 với một số âm sẽ lớn hơn 1).
4. Giải bất phương trình:
- Ta có:
- Suy ra:
5. Kết luận:
- Tập nghiệm của bất phương trình là .
Do đó, đáp án đúng là:
Tuy nhiên, theo phân tích trên, tập nghiệm chính xác là .
Câu 12.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định công thức chung của cấp số cộng.
2. Tìm công sai của cấp số cộng.
3. Tính giá trị của .
Bước 1: Xác định công thức chung của cấp số cộng
Cấp số cộng có công thức chung là:
Trong đó, là số hạng đầu tiên, là công sai và là số thứ tự của số hạng.
Bước 2: Tìm công sai của cấp số cộng
Biết rằng và , ta có:
Từ hai phương trình trên, ta có:
Lấy phương trình (2) trừ phương trình (1):
Thay vào phương trình (1):
Bước 3: Tính giá trị của
Sử dụng công thức chung của cấp số cộng:
Vậy giá trị của là 29.
Đáp án đúng là: D. 29.