Giải phương trình $12\frac{x+25}{2x^2-50}-\frac{x+5}{x^2-5x}=\frac{5-x}{2x^2+10x}$

Question

Accepted Answer

Điều kiện xác định: $x \neq 0$, $x \neq 5$, $x \neq -5$.

Phương trình đã cho có thể viết lại dưới dạng:
$$ 12 \cdot \frac{x+25}{2(x^2-25)} - \frac{x+5}{x(x-5)} = \frac{5-x}{2x(x+5)} $$

Nhận thấy rằng $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$, ta có thể viết lại phương trình như sau:
$$ 12 \cdot \frac{x+25}{2(x-5)(x+5)} - \frac{x+5}{x(x-5)} = \frac{-(x-5)}{2x(x+5)} $$

Quy đồng mẫu số chung của ba phân thức là $2x(x-5)(x+5)$, ta có:
$$ \frac{12(x+25)}{2x(x-5)(x+5)} - \frac{2(x+5)^2}{2x(x-5)(x+5)} = \frac{-(x-5)}{2x(x+5)} $$

Tổng quát lại phương trình:
$$ \frac{12(x+25) - 2(x+5)^2}{2x(x-5)(x+5)} = \frac{-(x-5)}{2x(x+5)} $$

Bây giờ, ta sẽ nhân cả hai vế với $2x(x-5)(x+5)$ để loại bỏ mẫu số:
$$ 12(x+25) - 2(x+5)^2 = -(x-5)(x-5) $$

Mở rộng các biểu thức:
$$ 12x + 300 - 2(x^2 + 10x + 25) = -(x^2 - 10x + 25) $$
$$ 12x + 300 - 2x^2 - 20x - 50 = -x^2 + 10x - 25 $$

Gộp các hạng tử tương tự:
$$ -2x^2 - 8x + 250 = -x^2 + 10x - 25 $$

Di chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:
$$ -2x^2 - 8x + 250 + x^2 - 10x + 25 = 0 $$
$$ -x^2 - 18x + 275 = 0 $$

Nhân cả hai vế với -1 để đơn giản hóa:
$$ x^2 + 18x - 275 = 0 $$

Phân tích đa thức thành nhân tử:
$$ (x + 25)(x - 11) = 0 $$

Vậy nghiệm của phương trình là:
$$ x = -25 \quad \text{hoặc} \quad x = 11 $$

Kiểm tra điều kiện xác định:
- $x = -25$: Không thỏa mãn điều kiện $x \neq -5$.
- $x = 11$: Thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó, nghiệm duy nhất của phương trình là:
$$ x = 11 $$