Cứu e với ạ

Câu 4. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta cần xác định các hàm liên quan đến doanh thu, chi phí và lợi nhuận. Bước 1: Xác định giá bán và số lượng bán ra Giá ban đầu là 320 nghìn đồng, số lượng ban đầu là 1500 chiếc. Nếu giảm giá 10 nghìn đồng, số lượng bán ra tăng thêm 100 chiếc. Giả sử giá bán mới là \( p \) nghìn đồng và số lượng bán ra là \( x \) chiếc. Ta có: \[ p = 320 - 10k \] \[ x = 1500 + 100k \] Trong đó \( k \) là số lần giảm giá 10 nghìn đồng. Bước 2: Xác định hàm doanh thu \( R(x) \) Doanh thu \( R(x) \) là tổng số tiền thu được từ việc bán \( x \) sản phẩm: \[ R(x) = p \cdot x \] Thay \( p \) và \( x \): \[ R(x) = (320 - 10k)(1500 + 100k) \] Bước 3: Xác định hàm chi phí \( C(x) \) Chi phí \( C(x) \) đã cho là: \[ C(x) = 20000 - 10x \] Bước 4: Xác định hàm lợi nhuận \( P(x) \) Lợi nhuận \( P(x) \) là hiệu giữa doanh thu và chi phí: \[ P(x) = R(x) - C(x) \] Bước 5: Kiểm tra các mệnh đề Mệnh đề a: Hàm lợi nhuận của nhà sản xuất khi bán được x sản phẩm mỗi tháng là \( P(x) = -0,1x^2 + 480x - 20000 \) (nghìn đồng). Để kiểm tra, ta cần tính \( R(x) \) và \( P(x) \): \[ R(x) = (320 - 10k)(1500 + 100k) \] Tính \( k \) theo \( x \): \[ x = 1500 + 100k \] \[ k = \frac{x - 1500}{100} \] Thay vào \( R(x) \): \[ R(x) = \left(320 - 10 \cdot \frac{x - 1500}{100}\right) \cdot x \] \[ R(x) = \left(320 - 0,1(x - 1500)\right) \cdot x \] \[ R(x) = (320 - 0,1x + 150) \cdot x \] \[ R(x) = (470 - 0,1x) \cdot x \] \[ R(x) = 470x - 0,1x^2 \] Hàm lợi nhuận: \[ P(x) = R(x) - C(x) \] \[ P(x) = (470x - 0,1x^2) - (20000 - 10x) \] \[ P(x) = 470x - 0,1x^2 - 20000 + 10x \] \[ P(x) = -0,1x^2 + 480x - 20000 \] Mệnh đề a đúng. Mệnh đề b: Hàm doanh thu của nhà sản xuất khi bán được x sản phẩm mỗi tháng là \( R(x) = -0,1x^2 + 470x \) (nghìn đồng). Từ trên, ta đã tính được: \[ R(x) = 470x - 0,1x^2 \] Mệnh đề b đúng. Mệnh đề c: Để lợi nhuận là lớn nhất thì nhà sản xuất phải bán được 2500 sản phẩm mỗi tháng. Để tìm giá trị lớn nhất của \( P(x) \), ta lấy đạo hàm của \( P(x) \) và đặt bằng 0: \[ P'(x) = -0,2x + 480 \] \[ -0,2x + 480 = 0 \] \[ x = 2400 \] Mệnh đề c sai. Mệnh đề d: Nếu nhà sản xuất bán mỗi sản phẩm với giá 260 nghìn đồng thì sẽ bán được trung bình 2900 chiếc sạc dự phòng mỗi tháng. Giá bán mới là 260 nghìn đồng: \[ 260 = 320 - 10k \] \[ 10k = 60 \] \[ k = 6 \] Số lượng bán ra: \[ x = 1500 + 100 \cdot 6 \] \[ x = 2100 \] Mệnh đề d sai. Kết luận - Mệnh đề a đúng. - Mệnh đề b đúng. - Mệnh đề c sai. - Mệnh đề d sai. Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta cần lập phương trình và tối ưu hóa lợi nhuận dựa trên các ràng buộc đã cho. Bước 1: Xác định các biến và ràng buộc: - Gọi số lượng máy điều hòa hai chiều là \( x \) - Gọi số lượng máy điều hòa một chiều là \( y \) Ràng buộc về vốn: \[ 20x + 10y \leq 1200 \quad (\text{đơn vị: triệu đồng}) \] Ràng buộc về tổng số máy: \[ x + y \leq 100 \] Bước 2: Xác định hàm mục tiêu (lợi nhuận): \[ P = 3.5x + 2y \] Bước 3: Tìm các điểm cực biên của vùng giải: 1. \( x = 0 \): \[ 10y \leq 1200 \Rightarrow y \leq 120 \] Kết hợp với ràng buộc \( x + y \leq 100 \): \[ y \leq 100 \] Điểm: \( (0, 100) \) 2. \( y = 0 \): \[ 20x \leq 1200 \Rightarrow x \leq 60 \] Kết hợp với ràng buộc \( x + y \leq 100 \): \[ x \leq 60 \] Điểm: \( (60, 0) \) 3. Giao điểm của hai đường thẳng: \[ 20x + 10y = 1200 \] \[ x + y = 100 \] Giải hệ phương trình: \[ 20x + 10(100 - x) = 1200 \] \[ 20x + 1000 - 10x = 1200 \] \[ 10x = 200 \] \[ x = 20 \] \[ y = 100 - 20 = 80 \] Điểm: \( (20, 80) \) Bước 4: Tính lợi nhuận tại các điểm cực biên: 1. Tại \( (0, 100) \): \[ P = 3.5(0) + 2(100) = 200 \] 2. Tại \( (60, 0) \): \[ P = 3.5(60) + 2(0) = 210 \] 3. Tại \( (20, 80) \): \[ P = 3.5(20) + 2(80) = 70 + 160 = 230 \] Bước 5: So sánh các giá trị lợi nhuận: - \( P(0, 100) = 200 \) - \( P(60, 0) = 210 \) - \( P(20, 80) = 230 \) Như vậy, lợi nhuận lớn nhất đạt được tại điểm \( (20, 80) \). Bước 6: Tính \( x^2 + y^2 \): \[ x^2 + y^2 = 20^2 + 80^2 = 400 + 6400 = 6800 \] Đáp số: \( x^2 + y^2 = 6800 \). Câu 2. Để xác định tuổi của mẫu gỗ, chúng ta sẽ sử dụng công thức $N(t) = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{4}}$. Bước 1: Xác định giá trị của $N(t)$ và $t$ đã biết. - Khi $t = 3754$ năm, $N(t) = 65\%$. Bước 2: Thay vào công thức để tìm hằng số $A$. \[ 65 = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3754}{4}} \] \[ 65 = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{938.5} \] Bước 3: Giải phương trình để tìm $A$. \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{938.5} = \frac{65}{100} = 0.65 \] \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{938.5} = 0.65 \] Bước 4: Xác định giá trị của $N(t)$ cho mẫu gỗ. - Khi $N(t) = 79\%$, ta cần tìm $t$. Bước 5: Thay vào công thức và giải phương trình. \[ 79 = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{4}} \] \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{4}} = \frac{79}{100} = 0.79 \] Bước 6: Áp dụng phương pháp giải phương trình mũ. \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{4}} = 0.79 \] \[ \frac{t}{4} = \log_{\frac{1}{2}}(0.79) \] \[ \frac{t}{4} = \frac{\log(0.79)}{\log\left(\frac{1}{2}\right)} \] \[ \frac{t}{4} = \frac{\log(0.79)}{-\log(2)} \] \[ \frac{t}{4} = \frac{-0.102}{-0.301} \approx 0.339 \] \[ t = 0.339 \times 4 \approx 1.356 \] Bước 7: Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị. \[ t \approx 1 \text{ năm} \] Vậy mẫu gỗ được lấy từ công trình đó có tuổi khoảng 1 năm. Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về tổng số học sinh trong trường và số học sinh sử dụng tài liệu học tập trực tuyến. Tuy nhiên, giả sử rằng chúng ta đã biết tổng số học sinh trong trường là \( N \) và số học sinh sử dụng tài liệu học tập trực tuyến là \( \frac{3}{4}N \). Bước 1: Xác định tổng số học sinh trong trường là \( N \). Bước 2: Số học sinh sử dụng tài liệu học tập trực tuyến là \( \frac{3}{4}N \). Bước 3: Số học sinh không sử dụng tài liệu học tập trực tuyến là \( N - \frac{3}{4}N = \frac{1}{4}N \). Bước 4: Tính tỷ lệ phần trăm của học sinh sử dụng tài liệu học tập trực tuyến: \[ \frac{\frac{3}{4}N}{N} \times 100\% = 75\% \] Bước 5: Tính tỷ lệ phần trăm của học sinh không sử dụng tài liệu học tập trực tuyến: \[ \frac{\frac{1}{4}N}{N} \times 100\% = 25\% \] Kết luận: Trong trường, 75% học sinh sử dụng tài liệu học tập trực tuyến và 25% học sinh không sử dụng tài liệu học tập trực tuyến. Đáp số: 75% học sinh sử dụng tài liệu học tập trực tuyến và 25% học sinh không sử dụng tài liệu học tập trực tuyến.