giải chi tiết

Câu 1: Gọi H là trung điểm của SC, ta có MH là đường cao của tam giác SCM hạ AK vuông góc với MH tại K. Ta có: $d(A,(SCM))=AK=\frac{8\sqrt{39}}{13}$ Suy ra: $S_{SCM}=\frac{1}{2}SC.MH=\frac{1}{2}MH.SC.sin60^0=\frac{\sqrt{3}}{4}SC.MH$ Diện tích tam giác SCM theo diện tích tam giác AMK là: $S_{SCM}=\frac{1}{2}MH.SC=\frac{1}{2}MH.\frac{AK}{sin60^0}=\frac{2}{\sqrt{3}}AK.MH$ Từ đó suy ra: $\frac{\sqrt{3}}{4}SC.MH=\frac{2}{\sqrt{3}}AK.MH$ Suy ra: $SC=\frac{8}{3}AK=\frac{64}{13}$ Gọi O là trung điểm của BC, ta có SO vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi SO = a, ta có: $SA=\frac{a}{tan60^0}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ Diện tích tam giác ABC là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}BC.BO=\frac{1}{2}.2a.\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{3}$ Thể tích khối chóp S.ABC là: $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SO.S_{ABC}=\frac{1}{3}.a.\frac{a^2\sqrt{3}}{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{9}$ Diện tích tam giác SCM là: $S_{SCM}=\frac{1}{2}SC.MH=\frac{1}{2}.\frac{64}{13}.a=\frac{32a}{13}$ Gọi đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác SCM là AH, ta có: $S_{SCM}=\frac{1}{2}MH.AK=\frac{1}{2}.a.\frac{8\sqrt{39}}{13}=\frac{4a\sqrt{39}}{13}$ Từ đó suy ra: $\frac{32a}{13}=\frac{4a\sqrt{39}}{13}$ Suy ra: $a^2=39$ Suy ra: $a=\sqrt{39}$ Thể tích khối chóp S.ABC là: $V_{S.ABC}=\frac{(\sqrt{39})^3\sqrt{3}}{9}=13\sqrt{13}$ Đáp số: $13\sqrt{13}$ Câu 2: Đầu tiên, ta cần xác định khoảng cách giữa hai điểm A và B trong không gian. Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của điểm A và B vào công thức: \[ AB = \sqrt{(808 - (-40))^2 + (-101 - 5)^2 + (426 - 2)^2} = \sqrt{(808 + 40)^2 + (-101 - 5)^2 + (426 - 2)^2} \] \[ = \sqrt{848^2 + (-106)^2 + 424^2} = \sqrt{719104 + 11236 + 179776} = \sqrt{899116} \approx 948.22 \text{ m} \] Tiếp theo, ta cần xác định thời gian để cabin đi từ điểm A đến điểm B. Tốc độ của cabin là 6 m/s, do đó thời gian để đi từ A đến B là: \[ t_{AB} = \frac{AB}{v} = \frac{948.22}{6} \approx 158.04 \text{ s} \] Bây giờ, ta cần xác định thời gian để cabin đi từ độ cao 30m đến độ cao 402m. Độ cao ban đầu của cabin là 2m tại điểm A, và cabin đang ở độ cao 30m lúc 8 giờ 30 phút. Do đó, cabin đã di chuyển một đoạn đường thẳng đứng từ 2m đến 30m, tức là đã di chuyển: \[ h_1 = 30 - 2 = 28 \text{ m} \] Thời gian để cabin di chuyển từ 2m đến 30m là: \[ t_1 = \frac{h_1}{v_z} = \frac{28}{6} \approx 4.67 \text{ s} \] Độ cao cần đạt là 402m, do đó khoảng cách thẳng đứng từ 30m đến 402m là: \[ h_2 = 402 - 30 = 372 \text{ m} \] Thời gian để cabin di chuyển từ 30m đến 402m là: \[ t_2 = \frac{h_2}{v_z} = \frac{372}{6} = 62 \text{ s} \] Tổng thời gian để cabin đi từ điểm A đến độ cao 402m là: \[ t_{total} = t_1 + t_2 = 4.67 + 62 = 66.67 \text{ s} \] Cuối cùng, ta cần đổi thời gian này sang phút: \[ t_{total} = \frac{66.67}{60} \approx 1.11 \text{ phút} \] Vậy sau khoảng 1.11 phút, cabin sẽ lên đến độ cao 402m. Đáp số: 1.11 phút. Câu 3: Gọi vận tốc của tàu A là \( v_A \) và vận tốc của tàu B là \( v_B \). - Vận tốc của tàu A: \( v_A = 7 \) hải lý/giờ. - Vận tốc của tàu B: \( v_B = 5 \) hải lý/giờ. Gọi khoảng thời gian từ lúc bắt đầu cho đến khi khoảng cách giữa hai tàu là bé nhất là \( t \) giờ. Trong khoảng thời gian \( t \) giờ: - Tàu A đã đi được quãng đường: \( d_A = v_A \cdot t = 7t \) hải lý. - Tàu B đã đi được quãng đường: \( d_B = v_B \cdot t = 5t \) hải lý. Khoảng cách ban đầu giữa hai tàu là 8 hải lý. Khi tàu B di chuyển về phía tàu A, khoảng cách giữa chúng sẽ giảm dần. Ta cần tìm thời điểm \( t \) sao cho khoảng cách giữa hai tàu là bé nhất. Khi tàu B di chuyển về phía tàu A, khoảng cách giữa chúng sẽ giảm dần theo công thức: \[ d(t) = \sqrt{(8 - 5t)^2 + (7t)^2} \] Ta cần tìm giá trị \( t \) để \( d(t) \) đạt giá trị nhỏ nhất. Để làm điều này, ta tính đạo hàm của \( d(t) \) và tìm điểm cực tiểu. Đạo hàm của \( d(t) \): \[ d'(t) = \frac{d}{dt} \left( \sqrt{(8 - 5t)^2 + (7t)^2} \right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số tổng và hàm số căn bậc hai: \[ d'(t) = \frac{1}{2\sqrt{(8 - 5t)^2 + (7t)^2}} \cdot \left[ 2(8 - 5t)(-5) + 2(7t)(7) \right] \] \[ d'(t) = \frac{1}{2\sqrt{(8 - 5t)^2 + (7t)^2}} \cdot \left[ -10(8 - 5t) + 14(7t) \right] \] \[ d'(t) = \frac{1}{2\sqrt{(8 - 5t)^2 + (7t)^2}} \cdot \left[ -80 + 50t + 98t \right] \] \[ d'(t) = \frac{1}{2\sqrt{(8 - 5t)^2 + (7t)^2}} \cdot \left[ -80 + 148t \right] \] Đặt \( d'(t) = 0 \): \[ -80 + 148t = 0 \] \[ 148t = 80 \] \[ t = \frac{80}{148} \] \[ t = \frac{40}{74} \] \[ t = \frac{20}{37} \approx 0.54 \text{ giờ} \] Vậy sau khoảng thời gian \( t \approx 0.54 \) giờ, khoảng cách giữa hai tàu là bé nhất. Đáp số: \( t \approx 0.54 \) giờ.