giải chi tiết ra Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng $a\sqrt3,~\widehat{BAD}=120^0,$,bên SA vuông góc với đáy. Biết góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng $60^0.$ Tính theo,,thể tích khối chóp S.ABCD , $C.~V=\frac{3a^3\sqrt3}5.$ $D.~V=\frac{9a^3}4.$,$A.~V=\frac{a^3\sqrt3}4.$ $B.~V=\frac{3a^3\sqrt3}4.$

Question

giải chi tiết ra Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng $a\sqrt3,~\widehat{BAD}=120^0,$,bên SA vuông góc với đáy. Biết góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng $60^0.$ Tính theo,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/b4b704767f2442e3bc8ee9d883cd4689.jpg />,thể tích khối chóp S.ABCD , $C.~V=\frac{3a^3\sqrt3}5.$ $D.~V=\frac{9a^3}4.$,$A.~V=\frac{a^3\sqrt3}4.$ $B.~V=\frac{3a^3\sqrt3}4.$

Accepted Answer

Câu 11:
Để tính thể tích khối chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính diện tích đáy ABCD:
   - Đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng $ a\sqrt{3} $ và góc $ \widehat{BAD} = 120^\circ $.
   - Diện tích hình thoi được tính bằng công thức:
     $$
     S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin(\widehat{BAD})
     $$
     Thay các giá trị vào:
     $$
     S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times (a\sqrt{3}) \times (a\sqrt{3}) \times \sin(120^\circ)
     $$
     Biết rằng $ \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $:
     $$
     S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times (a\sqrt{3}) \times (a\sqrt{3}) \times \frac{\sqrt{3}}{2}
     $$
     $$
     S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times 3a^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}
     $$
     $$
     S_{ABCD} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{4}
     $$

2. Tính chiều cao SA:
   - Gọi O là tâm của hình thoi ABCD, ta có SO là đường cao của khối chóp S.ABCD.
   - Ta biết góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng $ 60^\circ $. Điều này có nghĩa là góc giữa SO và mặt phẳng đáy ABCD cũng là $ 60^\circ $.
   - Vì SA vuông góc với đáy, ta có:
     $$
     \tan(60^\circ) = \frac{SO}{OA}
     $$
     Biết rằng $ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} $:
     $$
     \sqrt{3} = \frac{SO}{OA}
     $$
     - Ta cần tính OA. Vì O là tâm của hình thoi, OA là bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình thoi ABCD. Đường chéo BD của hình thoi ABCD là:
       $$
       BD = 2 \times AB \times \cos(60^\circ) = 2 \times a\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = a\sqrt{3}
       $$
       Do đó, OA là nửa đường chéo BD:
       $$
       OA = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}
       $$
     - Thay OA vào phương trình:
       $$
       \sqrt{3} = \frac{SO}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}
       $$
       $$
       SO = \sqrt{3} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{2}
       $$

3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD:
   - Thể tích khối chóp được tính bằng công thức:
     $$
     V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SO
     $$
     Thay các giá trị đã tính:
     $$
     V = \frac{1}{3} \times \frac{3a^2 \sqrt{3}}{4} \times \frac{3a}{2}
     $$
     $$
     V = \frac{1}{3} \times \frac{9a^3 \sqrt{3}}{8}
     $$
     $$
     V = \frac{3a^3 \sqrt{3}}{8}
     $$

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:
$$
V = \frac{3a^3 \sqrt{3}}{4}
$$

Đáp án đúng là: B. $ V = \frac{3a^3 \sqrt{3}}{4} $