Giải toàn bộ bài tập

Bài 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. a) Rút gọn biểu thức \( P \) Biểu thức ban đầu là: \[ P = \left( \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2x} + \frac{1}{x + 2} \right) : \frac{x + 1}{x} \] Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong ngoặc Phân thức thứ nhất: \[ \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2x} = \frac{x^2 - 2}{x(x + 2)} \] Phân thức thứ hai: \[ \frac{1}{x + 2} \] Bước 2: Quy đồng mẫu số chung Mẫu số chung của hai phân thức là \( x(x + 2) \): \[ \frac{x^2 - 2}{x(x + 2)} + \frac{1}{x + 2} = \frac{x^2 - 2}{x(x + 2)} + \frac{x}{x(x + 2)} = \frac{x^2 - 2 + x}{x(x + 2)} = \frac{x^2 + x - 2}{x(x + 2)} \] Bước 3: Chia phân thức \[ P = \frac{x^2 + x - 2}{x(x + 2)} : \frac{x + 1}{x} = \frac{x^2 + x - 2}{x(x + 2)} \cdot \frac{x}{x + 1} = \frac{(x^2 + x - 2) \cdot x}{x(x + 2)(x + 1)} = \frac{x^2 + x - 2}{(x + 2)(x + 1)} \] Bước 4: Rút gọn phân thức Ta thấy \( x^2 + x - 2 \) có thể phân tích thành: \[ x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) \] Do đó: \[ P = \frac{(x + 2)(x - 1)}{(x + 2)(x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \] b) Tìm \( x \) để \( P = \frac{5}{2} \) Ta có: \[ \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{5}{2} \] Bằng phương pháp giải phương trình tỉ lệ: \[ 2(x - 1) = 5(x + 1) \] \[ 2x - 2 = 5x + 5 \] \[ 2x - 5x = 5 + 2 \] \[ -3x = 7 \] \[ x = -\frac{7}{3} \] c) Tìm giá trị \( x \) nguyên để \( P \) nhận giá trị nguyên Ta có: \[ P = \frac{x - 1}{x + 1} \] Để \( P \) là số nguyên, \( x - 1 \) phải chia hết cho \( x + 1 \). Ta xét các trường hợp: - \( x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0 \) (loại vì \( x \neq 0 \)) - \( x + 1 = -1 \Rightarrow x = -2 \) (loại vì \( x \neq -2 \)) - \( x + 1 = x - 1 \Rightarrow 1 = -1 \) (không thỏa mãn) - \( x + 1 = -(x - 1) \Rightarrow x + 1 = -x + 1 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \) (loại vì \( x \neq 0 \)) Vậy không có giá trị \( x \) nguyên nào thỏa mãn điều kiện \( P \) là số nguyên. Đáp số: a) \( P = \frac{x - 1}{x + 1} \) b) \( x = -\frac{7}{3} \) c) Không có giá trị \( x \) nguyên nào thỏa mãn. Bài 6: a) Rút gọn biểu thức A Điều kiện xác định: \( x \neq \pm 2 \) Ta có: \[ A = \left( \frac{X}{x^2-4} + \frac{1}{x+2} - \frac{2}{x-2} \right) : \left( 1 - \frac{X}{x+2} \right) \] Trước tiên, ta rút gọn từng phân thức trong biểu thức: \[ \frac{X}{x^2-4} = \frac{X}{(x-2)(x+2)} \] \[ \frac{1}{x+2} = \frac{1}{x+2} \] \[ \frac{2}{x-2} = \frac{2}{x-2} \] Tổng hợp lại: \[ \frac{X}{(x-2)(x+2)} + \frac{1}{x+2} - \frac{2}{x-2} \] Quy đồng mẫu số chung: \[ = \frac{X + (x-2) - 2(x+2)}{(x-2)(x+2)} \] \[ = \frac{X + x - 2 - 2x - 4}{(x-2)(x+2)} \] \[ = \frac{X - x - 6}{(x-2)(x+2)} \] Phần còn lại của biểu thức: \[ 1 - \frac{X}{x+2} = \frac{x+2 - X}{x+2} \] Rút gọn biểu thức A: \[ A = \frac{\frac{X - x - 6}{(x-2)(x+2)}}{\frac{x+2 - X}{x+2}} \] \[ = \frac{X - x - 6}{(x-2)(x+2)} \times \frac{x+2}{x+2 - X} \] \[ = \frac{X - x - 6}{(x-2)(x+2 - X)} \] b) Tính giá trị của biểu thức A khi \( x = -4 \): Thay \( x = -4 \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ A = \frac{X - (-4) - 6}{(-4-2)(-4+2 - X)} \] \[ = \frac{X + 4 - 6}{(-6)(-2 - X)} \] \[ = \frac{X - 2}{(-6)(-2 - X)} \] \[ = \frac{X - 2}{12 + 6X} \] c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên: Để \( A \) có giá trị nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số. Ta xét các trường hợp: - \( X - x - 6 \) phải chia hết cho \( x - 2 \) - \( x + 2 - X \) phải là số nguyên Do đó, ta cần tìm các giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( x - 2 \) là ước của \( X - x - 6 \). Vì \( X \) là biến phụ thuộc vào \( x \), ta cần kiểm tra các giá trị nguyên của \( x \) để đảm bảo \( A \) là số nguyên. Kết luận: Các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) có giá trị nguyên là \( x = -4, -3, -1, 0, 1, 3 \). Bài 7: a) Rút gọn biểu thức \( A \): Đầu tiên, ta tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): \[ x \neq 0, x \neq 2, x \neq -2 \] Biểu thức \( A \) là: \[ A = \left( \frac{4x}{x^2 + 2x} + \frac{2}{x - 2} - \frac{6 - 5x}{4 - x^2} \right) : \frac{x + 1}{x - 2} \] Chúng ta sẽ rút gọn từng phân thức trong biểu thức \( A \): 1. Rút gọn \( \frac{4x}{x^2 + 2x} \): \[ \frac{4x}{x(x + 2)} = \frac{4}{x + 2} \] 2. Rút gọn \( \frac{6 - 5x}{4 - x^2} \): \[ \frac{6 - 5x}{(2 - x)(2 + x)} = \frac{-(5x - 6)}{(2 - x)(2 + x)} = \frac{5x - 6}{(x - 2)(x + 2)} \] Bây giờ, ta thay các phân thức đã rút gọn vào biểu thức \( A \): \[ A = \left( \frac{4}{x + 2} + \frac{2}{x - 2} - \frac{5x - 6}{(x - 2)(x + 2)} \right) : \frac{x + 1}{x - 2} \] Tìm mẫu chung của các phân thức trong ngoặc: \[ \text{Mẫu chung} = (x + 2)(x - 2) \] Rút gọn biểu thức trong ngoặc: \[ \frac{4(x - 2) + 2(x + 2) - (5x - 6)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{4x - 8 + 2x + 4 - 5x + 6}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{x + 2}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{1}{x - 2} \] Do đó: \[ A = \frac{1}{x - 2} : \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} \times \frac{x - 2}{x + 1} = \frac{1}{x + 1} \] b) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x \) thỏa mãn \( x^2 - 2x = 8 \): Giải phương trình \( x^2 - 2x - 8 = 0 \): \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \] \[ (x - 4)(x + 2) = 0 \] \[ x = 4 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Vì \( x \neq -2 \), ta chọn \( x = 4 \). Thay \( x = 4 \) vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{1}{4 + 1} = \frac{1}{5} \] c) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) có giá trị nguyên: Biểu thức \( A = \frac{1}{x + 1} \) có giá trị nguyên khi \( x + 1 \) là ước của 1. Các ước của 1 là \( \pm 1 \). Do đó: \[ x + 1 = 1 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = -1 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Vì \( x \neq 0 \) và \( x \neq -2 \), không có giá trị nguyên nào của \( x \) thỏa mãn điều kiện để \( A \) có giá trị nguyên. Đáp số: a) \( A = \frac{1}{x + 1} \) b) \( A = \frac{1}{5} \) c) Không có giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) có giá trị nguyên.