nhanhhhhhhh

Câu 1: Trước tiên, ta xác định góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD). Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, ta có SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Ta có góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) chính là góc SBM. Ta tính SB: \[ SB = 2a\sqrt{2} \] Ta tính SO: \[ SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{(2a\sqrt{2})^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{8a^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{16a^2 - a^2}{2}} = \sqrt{\frac{15a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{15}{2}} \] Ta tính BM: \[ BM = \sqrt{BO^2 + OM^2} \] \[ BO = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] \[ OM = \sqrt{SO^2 + SM^2} = \sqrt{\left(a\sqrt{\frac{15}{2}}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{15a^2}{2} + \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{16a^2}{2}} = a\sqrt{2} \] Do đó: \[ BM = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} + 2a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{5}{2}} \] Ta tính cos góc SBM: \[ \cos \angle SBM = \frac{BM}{SB} = \frac{a\sqrt{\frac{5}{2}}}{2a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{\frac{5}{2}}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{4} \] Vậy góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) là: \[ \angle SBM = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{4}\right) \] Đáp số: $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{4}\right)$ Câu 2: Để tìm thời gian ngắn nhất để xe bưu chính đi từ kho D đến lấy thư từ các hộp thư tại E, F, G và H rồi quay lại kho, ta sẽ áp dụng phương pháp tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị có hướng có trọng số. Bước 1: Xác định các điểm và trọng số trên đồ thị: - D → E: 10 phút - D → F: 15 phút - D → G: 20 phút - D → H: 25 phút - E → F: 5 phút - E → G: 10 phút - E → H: 15 phút - F → G: 5 phút - F → H: 10 phút - G → H: 5 phút - E → D: 10 phút - F → D: 15 phút - G → D: 20 phút - H → D: 25 phút Bước 2: Áp dụng thuật toán Dijkstra hoặc thuật toán tìm đường đi ngắn nhất khác để tìm đường đi ngắn nhất từ D đến tất cả các điểm và ngược lại. Bước 3: Xây dựng đường đi ngắn nhất: - D → E: 10 phút - E → F: 5 phút - F → G: 5 phút - G → H: 5 phút - H → D: 25 phút Tổng thời gian: 10 + 5 + 5 + 5 + 25 = 50 phút Vậy thời gian ngắn nhất để xe bưu chính thực hiện điều đó là 50 phút. Câu 3: Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là $a$ và $b$. Ta có: \[ a^2 + b^2 = 4r^2 = 4 \] Diện tích của hình chữ thập là: \[ S = 2ab \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ a^2 + b^2 \geq 2ab \] \[ 4 \geq 2ab \] \[ ab \leq 2 \] Do đó diện tích lớn nhất của hình chữ thập là: \[ S_{\text{max}} = 2 \times 2 = 4 \] Đạt được khi $a = b = \sqrt{2}$. Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ thập là $4 cm^2$.