Ndjjdjcnskabxbb c) Nghiệm của phương trình $f^\prime(x)=0$ trên đoạn $0;\frac\pi2$ là $\frac\pi6$,d) Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $|0;\frac\pi2|$ là $\frac\pi6+\sqrt3$,Câu 13.2. Cho hàm số $f(x)=\cos2x+x$ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:,$a)~f(0)=1;f(\frac\pi2)=\frac\pi2-1.$,b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^\prime(x)=-2\sin2x+1.$,c) Nghiệm của phương trình $f^\prime(x)=0$ trên đoạn $0;\frac\pi4$ là $\frac\pi6,$,d) Giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $0;\frac\pi4$ là $\frac\pi4$,Câu 13.3. Cho hàm số $f(x)=4\sin x+2x$ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Question

Accepted Answer

Câu 13.2.
a) Đúng vì $f(0)=\cos0+0=1;f(\frac\pi2)=\cos\pi+\frac\pi2=\frac\pi2-1.$ 
b) Đúng vì $f^\prime(x)=(\cos2x)^\prime+(x)^\prime=-2\sin2x+1.$ 
c) Đúng vì $f^\prime(x)=0\Leftrightarrow-2\sin2x+1=0\Leftrightarrow\sin2x=\frac12.$ 
Trên đoạn $(0;\frac\pi4)$ phương trình $\sin2x=\frac12$ có nghiệm duy nhất là $x=\frac\pi6.$ 
d) Sai vì $f^\prime(x)>0$ trên khoảng $(0;\frac\pi6);$ $f^\prime(x)<0$ trên khoảng $(\frac\pi6;\frac\pi4).$ 
Do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0;\frac\pi6)$ và nghịch biến trên khoảng $(\frac\pi6;\frac\pi4).$ 
Mặt khác $f(0)=1;f(\frac\pi4)=\frac\pi4.$ 
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $(0;\frac\pi4)$ là $\frac\pi4.$

Câu 13.3.
Để xét tính đúng sai của các mệnh đề liên quan đến hàm số $ f(x) = 4 \sin x + 2x $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   f'(x) = \frac{d}{dx}(4 \sin x + 2x) = 4 \cos x + 2
   $$

2. Xét dấu của đạo hàm:
   Ta cần kiểm tra xem đạo hàm $ f'(x) $ có luôn dương hay không để xác định tính đơn điệu của hàm số.
   $$
   f'(x) = 4 \cos x + 2
   $$
   Ta biết rằng $ -1 \leq \cos x \leq 1 $. Do đó:
   $$
   -4 \leq 4 \cos x \leq 4
   $$
   Suy ra:
   $$
   -4 + 2 \leq 4 \cos x + 2 \leq 4 + 2
   $$
   $$
   -2 \leq 4 \cos x + 2 \leq 6
   $$
   Điều này cho thấy $ f'(x) \geq -2 $. Tuy nhiên, vì $ 4 \cos x + 2 $ luôn lớn hơn hoặc bằng 0 (vì $ 4 \cos x $ luôn lớn hơn hoặc bằng -4 và cộng thêm 2 sẽ luôn lớn hơn hoặc bằng -2), nên $ f'(x) \geq 0 $.

3. Kết luận về tính đơn điệu của hàm số:
   Vì $ f'(x) \geq 0 $ cho mọi $ x $, hàm số $ f(x) = 4 \sin x + 2x $ là hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó.

Do đó, các mệnh đề liên quan đến tính đơn điệu của hàm số $ f(x) = 4 \sin x + 2x $ đều đúng nếu chúng khẳng định rằng hàm số này là hàm số đồng biến.

Đáp số: Hàm số $ f(x) = 4 \sin x + 2x $ là hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó.