giải giúp em

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = x^2 + x - 4 \). 2. Tính giá trị của biểu thức \( F(6) - F(0) \). Bước 1: Tìm nguyên hàm \( F(x) \) của \( f(x) \). Nguyên hàm của \( f(x) = x^2 + x - 4 \) là: \[ F(x) = \int (x^2 + x - 4) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 4x + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Tính giá trị của biểu thức \( F(6) - F(0) \). Thay \( x = 6 \) vào \( F(x) \): \[ F(6) = \frac{6^3}{3} + \frac{6^2}{2} - 4 \cdot 6 + C = \frac{216}{3} + \frac{36}{2} - 24 + C = 72 + 18 - 24 + C = 66 + C \] Thay \( x = 0 \) vào \( F(x) \): \[ F(0) = \frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} - 4 \cdot 0 + C = 0 + 0 - 0 + C = C \] Tính \( F(6) - F(0) \): \[ F(6) - F(0) = (66 + C) - C = 66 \] Vậy giá trị của biểu thức \( F(6) - F(0) \) là 66. Đáp án đúng là: D. 66. Câu 2. Để tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \cos x$, trục hoành ($y = 0$), và hai đường thẳng $x = -\pi$ và $x = \pi$ quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích bề mặt quay: - Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \cos x$, trục hoành ($y = 0$), và hai đường thẳng $x = -\pi$ và $x = \pi$. - Khi quay hình phẳng này quanh trục Ox, ta sẽ tạo thành một khối tròn xoay. 2. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: - Công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$ quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] - Trong trường hợp này, $f(x) = \cos x$, $a = -\pi$, và $b = \pi$. Do đó, ta có: \[ V = \pi \int_{-\pi}^{\pi} (\cos x)^2 \, dx \] 3. Tính tích phân: - Ta cần tính tích phân $\int_{-\pi}^{\pi} (\cos x)^2 \, dx$. Sử dụng công thức hạ bậc: \[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \] - Thay vào tích phân: \[ \int_{-\pi}^{\pi} (\cos x)^2 \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx \] - Tách tích phân: \[ \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} 1 \, dx + \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \cos 2x \, dx \] - Tính từng phần: \[ \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} 1 \, dx = \frac{1}{2} \left[ x \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{2} (\pi - (-\pi)) = \frac{1}{2} (2\pi) = \pi \] \[ \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{2} \left( \frac{\sin 2\pi}{2} - \frac{\sin (-2\pi)}{2} \right) = \frac{1}{2} (0 - 0) = 0 \] - Kết hợp lại: \[ \int_{-\pi}^{\pi} (\cos x)^2 \, dx = \pi + 0 = \pi \] 4. Tính thể tích khối tròn xoay: - Thay kết quả tích phân vào công thức thể tích: \[ V = \pi \cdot \pi = \pi^2 \] Vậy thể tích khối tròn xoay là $\pi^2$. Đáp án đúng là B. $\pi^2$. Câu 3. Để so sánh điểm trung bình và độ phân tán điểm của hai lớp, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính điểm trung bình của mỗi lớp Lớp 12A: - Số học sinh: \(2 + 6 + 10 + 14 + 8 = 40\) - Điểm trung bình: \[ \text{ĐTB}_A = \frac{(5.5 \times 2) + (6.5 \times 6) + (7.5 \times 10) + (8.5 \times 14) + (9.5 \times 8)}{40} = \frac{(11) + (39) + (75) + (119) + (76)}{40} = \frac{320}{40} = 8 \] Lớp 12B: - Số học sinh: \(8 + 14 + 10 + 6 + 2 = 40\) - Điểm trung bình: \[ \text{ĐTB}_B = \frac{(5.5 \times 8) + (6.5 \times 14) + (7.5 \times 10) + (8.5 \times 6) + (9.5 \times 2)}{40} = \frac{(44) + (91) + (75) + (51) + (19)}{40} = \frac{280}{40} = 7 \] Bước 2: So sánh điểm trung bình của hai lớp - Điểm trung bình của lớp 12A: 8 - Điểm trung bình của lớp 12B: 7 Như vậy, lớp 12A có điểm trung bình cao hơn lớp 12B. Bước 3: Xác định độ phân tán điểm (độ lệch chuẩn) Độ phân tán điểm (độ lệch chuẩn) là một đại lượng đo lường mức độ phân tán của các giá trị điểm so với điểm trung bình. Để tính độ lệch chuẩn, chúng ta cần biết phương sai trước. Phương sai \( \sigma^2 \) của một tập dữ liệu được tính bằng công thức: \[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 f_i}{N} \] Trong đó: - \( x_i \) là giá trị điểm ở khoảng thứ i - \( \mu \) là điểm trung bình - \( f_i \) là tần số của giá trị điểm ở khoảng thứ i - \( N \) là tổng số học sinh Lớp 12A: \[ \sigma_A^2 = \frac{(5.5 - 8)^2 \times 2 + (6.5 - 8)^2 \times 6 + (7.5 - 8)^2 \times 10 + (8.5 - 8)^2 \times 14 + (9.5 - 8)^2 \times 8}{40} = \frac{(7.25 \times 2) + (2.25 \times 6) + (0.25 \times 10) + (0.25 \times 14) + (2.25 \times 8)}{40} = \frac{14.5 + 13.5 + 2.5 + 3.5 + 18}{40} = \frac{52}{40} = 1.3 \] Lớp 12B: \[ \sigma_B^2 = \frac{(5.5 - 7)^2 \times 8 + (6.5 - 7)^2 \times 14 + (7.5 - 7)^2 \times 10 + (8.5 - 7)^2 \times 6 + (9.5 - 7)^2 \times 2}{40} = \frac{(2.25 \times 8) + (0.25 \times 14) + (0.25 \times 10) + (2.25 \times 6) + (6.25 \times 2)}{40} = \frac{18 + 3.5 + 2.5 + 13.5 + 12.5}{40} = \frac{50}{40} = 1.25 \] Bước 4: So sánh độ phân tán điểm của hai lớp - Phương sai của lớp 12A: 1.3 - Phương sai của lớp 12B: 1.25 Như vậy, độ phân tán điểm của hai lớp khác nhau. Kết luận Lớp 12A có điểm trung bình cao hơn lớp 12B, và độ phân tán điểm của hai lớp khác nhau. Đáp án đúng là: B. Lớp 12A có điểm trung bình cao hơn lớp 12B, và độ phân tán điểm của hai lớp khác nhau. Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, trục Oz có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{k}(0;0;1)$. Lập luận từng bước: - Trục Oz là trục thẳng đứng trong hệ tọa độ Oxyz. - Vectơ chỉ phương của trục Oz là vectơ có hướng thẳng đứng từ gốc tọa độ O lên trên. - Trong hệ tọa độ Oxyz, vectơ chỉ phương của trục Oz có tọa độ là $(0;0;1)$. Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\overrightarrow{k}(0;0;1) \] Câu 5. Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+4}{x-2}$, ta làm như sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số $y=\frac{2x+4}{x-2}$ có nghĩa là $x-2 \neq 0$, suy ra $x \neq 2$. 2. Tìm tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng của hàm số $y=\frac{2x+4}{x-2}$ là đường thẳng $x=a$ sao cho $\lim_{x \to a} y = \pm \infty$. Trong trường hợp này, ta thấy rằng khi $x \to 2$, mẫu số $x-2$ sẽ tiến đến 0, dẫn đến giá trị của hàm số tiến đến vô cùng. Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 2$. Vậy đáp án đúng là: \[ C.~x=2. \] Câu 6. Để giải bất phương trình $\log_7(11-x) < 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_7(11-x)$, ta cần đảm bảo rằng $11-x > 0$. - Điều này dẫn đến $x < 11$. 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_7(11-x) < 1$. - Biến đổi tương đương: $11-x < 7^1$. - Điều này dẫn đến $11-x < 7$. - Giải phương trình: $-x < 7 - 11$. - Kết quả là $-x < -4$. - Nhân cả hai vế với -1 (nhớ đổi dấu): $x > 4$. 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x < 11$ và kết quả từ bước 2 ($x > 4$), ta có: $ 4 < x < 11 $ Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là $(4; 11)$. Đáp án: D. $(4; 11)$. Câu 7. Mặt phẳng (Oxy) là mặt phẳng chứa gốc tọa độ O và hai trục Ox và Oy. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (Oxy) bao gồm tất cả các điểm có tọa độ (x, y, z) sao cho tọa độ z của chúng bằng 0. Do đó, phương trình của mặt phẳng (Oxy) là: \[ z = 0 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~z=0. \] Câu 8. Để xác định mặt phẳng nào trong các lựa chọn sau đây vuông góc với mặt phẳng (SAB), ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng một. 1. Mặt phẳng (SAC): - Ta thấy rằng \( SA \perp AD \) và \( AD \perp AB \) (vì ABCD là hình chữ nhật). - Do đó, \( SA \perp AB \) (vì \( SA \perp AD \) và \( AD \perp AB \)). - Mặt phẳng (SAB) chứa \( SA \) và \( AB \). - Mặt phẳng (SAC) chứa \( SA \) và \( AC \). - Vì \( AC \) không vuông góc với \( AB \), nên (SAC) không vuông góc với (SAB). 2. Mặt phẳng (SBC): - Mặt phẳng (SBC) chứa \( SB \) và \( BC \). - \( SB \) không vuông góc với \( AB \) (vì \( SB \) nằm trong mặt phẳng (SAB)). - Do đó, (SBC) không vuông góc với (SAB). 3. Mặt phẳng (SCD): - Mặt phẳng (SCD) chứa \( SC \) và \( CD \). - \( CD \) vuông góc với \( AB \) (vì ABCD là hình chữ nhật). - \( SC \) không vuông góc với \( AB \) (vì \( SC \) nằm trong mặt phẳng (SCD)). - Do đó, (SCD) không vuông góc với (SAB). 4. Mặt phẳng (SBD): - Mặt phẳng (SBD) chứa \( SB \) và \( BD \). - \( BD \) vuông góc với \( AB \) (vì \( BD \) là đường chéo của hình chữ nhật ABCD). - \( SB \) không vuông góc với \( AB \) (vì \( SB \) nằm trong mặt phẳng (SAB)). - Do đó, (SBD) không vuông góc với (SAB). Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng \( BD \) vuông góc với \( AB \) và \( BD \) nằm trong mặt phẳng (SBD). Điều này có nghĩa là nếu ta có thể chứng minh rằng \( BD \) vuông góc với \( SA \), thì mặt phẳng (SBD) sẽ vuông góc với mặt phẳng (SAB). - \( SA \perp AD \) và \( AD \perp AB \) (vì ABCD là hình chữ nhật). - \( BD \) là đường chéo của hình chữ nhật ABCD, do đó \( BD \) vuông góc với \( AB \). - Vì \( SA \perp AD \) và \( AD \perp AB \), ta có \( SA \perp AB \). - Mặt phẳng (SAB) chứa \( SA \) và \( AB \). - Mặt phẳng (SBD) chứa \( BD \) và \( SB \). Do đó, \( BD \) vuông góc với \( AB \) và \( SA \perp AB \), dẫn đến \( BD \) vuông góc với \( SA \). Điều này chứng minh rằng mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAB). Vậy đáp án đúng là: D. (SBD). Câu 9. Để giải phương trình $3^x = 6$, ta thực hiện các bước sau: 1. Lấy logarit cơ số 3 của cả hai vế: \[ \log_3(3^x) = \log_3(6) \] 2. Áp dụng tính chất logarit $\log_a(a^b) = b$: \[ x = \log_3(6) \] 3. Tách logarit theo tính chất $\log_a(bc) = \log_a(b) + \log_a(c)$: \[ \log_3(6) = \log_3(3 \cdot 2) = \log_3(3) + \log_3(2) \] 4. Biết rằng $\log_3(3) = 1$: \[ \log_3(6) = 1 + \log_3(2) \] Vậy nghiệm của phương trình $3^x = 6$ là: \[ x = 1 + \log_3(2) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~x = 1 + \log_3(2) \] Câu 10. Để tìm giá trị của số hạng $u_7$ trong cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = 1$ và $u_4 = 8$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định công bội $q$ của cấp số nhân. - Ta biết rằng $u_4 = u_1 \cdot q^3$. Thay $u_1 = 1$ và $u_4 = 8$ vào, ta có: \[ 8 = 1 \cdot q^3 \] \[ q^3 = 8 \] \[ q = 2 \] Bước 2: Tìm giá trị của số hạng $u_7$. - Số hạng thứ $n$ trong cấp số nhân được tính theo công thức $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$. Thay $u_1 = 1$, $q = 2$, và $n = 7$ vào, ta có: \[ u_7 = 1 \cdot 2^{7-1} \] \[ u_7 = 2^6 \] \[ u_7 = 64 \] Vậy giá trị của số hạng $u_7$ là 64. Đáp án đúng là: B. 64. Câu 11. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = -2x^3 + 9x^2 + 24x - 11$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx} (-2x^3 + 9x^2 + 24x - 11) = -6x^2 + 18x + 24 \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số là: \[ y' = -6x^2 + 18x + 24 \] Ta giải phương trình $y' = 0$ để tìm các điểm cực trị: \[ -6x^2 + 18x + 24 = 0 \] Chia cả hai vế cho -6: \[ x^2 - 3x - 4 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x^2 - 3x - 4 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = -3$, $c = -4$: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \] Do đó: \[ x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1 \] 3. Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định: - Khi $x < -1$: Chọn $x = -2$, ta có $y' = -6(-2)^2 + 18(-2) + 24 = -24 - 36 + 24 = -36 < 0$. Vậy $y'$ âm. - Khi $-1 < x < 4$: Chọn $x = 0$, ta có $y' = -6(0)^2 + 18(0) + 24 = 24 > 0$. Vậy $y'$ dương. - Khi $x > 4$: Chọn $x = 5$, ta có $y' = -6(5)^2 + 18(5) + 24 = -150 + 90 + 24 = -36 < 0$. Vậy $y'$ âm. 4. Kết luận: Hàm số $y = -2x^3 + 9x^2 + 24x - 11$ đồng biến trên khoảng $(-1, 4)$. Vậy đáp án đúng là: \[ A.~(-1;4) \] Câu 12. Ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức vectơ một để xác định đẳng thức nào là đúng. A. $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D^\prime C^\prime} + \overrightarrow{CC^\prime} = \overrightarrow{AC^\prime}$ - Ta có $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC^\prime}$ - $\overrightarrow{D^\prime C^\prime} = \overrightarrow{AB}$ - $\overrightarrow{CC^\prime} = \overrightarrow{AA^\prime}$ Do đó: $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D^\prime C^\prime} + \overrightarrow{CC^\prime} = \overrightarrow{DC^\prime} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{AC^\prime}$ Đẳng thức này đúng. B. $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BD^\prime} = \overrightarrow{BB^\prime}$ - Ta có $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ - $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ - $\overrightarrow{BD^\prime} = \overrightarrow{AD^\prime}$ Do đó: $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BD^\prime} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD^\prime} \neq \overrightarrow{BB^\prime}$ Đẳng thức này sai. C. $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{D^\prime A^\prime} + \overrightarrow{D^\prime C^\prime}$ - Ta có $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ - $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ - $\overrightarrow{D^\prime A^\prime} = \overrightarrow{DC}$ - $\overrightarrow{D^\prime C^\prime} = \overrightarrow{AB}$ Do đó: $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$ $\overrightarrow{D^\prime A^\prime} + \overrightarrow{D^\prime C^\prime} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AB}$ Đẳng thức này sai. D. $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD^\prime} + \overrightarrow{BD^\prime} = \overrightarrow{BC}$ - Ta có $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ - $\overrightarrow{DD^\prime} = \overrightarrow{AA^\prime}$ - $\overrightarrow{BD^\prime} = \overrightarrow{AD^\prime}$ Do đó: $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD^\prime} + \overrightarrow{BD^\prime} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA^\prime} + \overrightarrow{AD^\prime} \neq \overrightarrow{BC}$ Đẳng thức này sai. Vậy đáp án đúng là: $A.~\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D^\prime C^\prime}+\overrightarrow{CC^\prime}=\overrightarrow{AC^\prime}.$