Câu 12:
Để tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường , trục hoành và đường thẳng quanh trục hoành, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định khoảng tích phân:
- Phương trình cắt trục hoành tại điểm :
- Vậy hình phẳng (H) giới hạn từ đến .
2. Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay:
- Công thức thể tích khối tròn xoay khi quay một hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và hai đường thẳng và quanh trục hoành:
- Ở đây, , , và .
3. Tính tích phân:
- Ta có:
- Mở rộng biểu thức trong tích phân:
- Do đó:
4. Tính từng phần của tích phân:
- Tính :
- Tính :
- Tính :
5. Tổng hợp kết quả:
- Kết hợp các kết quả trên:
- Chuyển tất cả về cùng mẫu số:
- Cộng trừ các phân số:
Vậy thể tích khối tròn xoay là . Đáp án đúng là .
Câu 1:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.
Phần a) Tìm giá trị của và
Biết rằng đồ thị hàm số đi qua hai điểm và .
- Thay tọa độ điểm vào phương trình:
- Thay tọa độ điểm vào phương trình:
Vậy và . Do đó, .
Phần b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Hàm số là một parabol hướng xuống, đỉnh của parabol này nằm ở .
- Tính giá trị của tại :
Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại và giá trị lớn nhất là 1.
Phần c) Tính thể tích tối đa của bình chứa nhiên liệu
Thể tích của bình chứa nhiên liệu được tính bằng cách quay đồ thị hàm số quanh trục từ đến .
- Thể tích của vật thể quay được tính bằng công thức:
- Thay vào:
- Tính tích phân từng phần:
- Kết hợp lại:
Phần d) Tính quãng đường tối đa mà máy bay có thể bay được
- Bình chứa nhiên liệu cần phải đảm bảo luôn có 25% dung tích được giữ lại làm nhiên liệu dự phòng:
- Mức tiêu thụ nhiên liệu ban đầu là 2.5 lít/km, sau đó tăng tuyến tính 0.008 lít/km/km.
- Gọi là quãng đường tối đa mà máy bay có thể bay được. Mức tiêu thụ nhiên liệu sau km là:
- Tổng lượng nhiên liệu tiêu thụ trong km:
- Đặt tổng lượng nhiên liệu tiêu thụ bằng dung tích sử dụng:
- Giải phương trình bậc hai:
- Áp dụng công thức nghiệm:
- Chọn nghiệm dương:
- Làm tròn đến hàng đơn vị:
Vậy quãng đường tối đa mà máy bay có thể bay được là 1303 km.
Câu 2:
a) Tọa độ của điểm A(0;2;0)
b) Trọng tâm của tam giác SAB là G(2/3; -2/3; 2√3/3)
c) Nếu điểm E(a,0,b) là một điểm thuộc mặt phẳng (Ckz) sao cho ba điểm C,E,G thẳng hàng thì tích a.b = √3
d) Nếu điểm M(0;m,n) thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho MG + MB đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của biểu thức T = m² + n² = 1
Giải chi tiết:
a) Tọa độ của điểm A(0;2;0) đã cho trong đề bài.
b) Trọng tâm của tam giác SAB là G(2/3; -2/3; 2√3/3).
c) Để ba điểm C, E, G thẳng hàng, ta cần tìm tọa độ của điểm E(a,0,b) sao cho vectơ CE và vectơ CG cùng phương.
Vectơ CE = (a - 2, 0 - 2, b - 0) = (a - 2, -2, b)
Vectơ CG = (2/3 - 2, -2/3 - 2, 2√3/3 - 0) = (-4/3, -8/3, 2√3/3)
Để CE và CG cùng phương, ta có:
(a - 2) / (-4/3) = -2 / (-8/3) = b / (2√3/3)
Từ đó suy ra:
(a - 2) / (-4/3) = 3/4
b / (2√3/3) = 3/4
Giải hai phương trình này ta được:
a - 2 = -1
b = √3
Vậy a = 1 và b = √3, do đó tích a.b = 1 √3 = √3.
d) Để MG + MB đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm điểm M(0;m,n) trên mặt phẳng (Oyz) sao cho tổng khoảng cách từ M đến G và B là nhỏ nhất.
Ta có:
MG = √((0 - 2/3)² + (m + 2/3)² + (n - 2√3/3)²)
MB = √((0 - 0)² + (m - 0)² + (n - 0)²)
Để MG + MB nhỏ nhất, ta cần tìm điểm M sao cho tổng khoảng cách này là nhỏ nhất. Ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này.
Sau khi tính toán, ta được:
m² + n² = 1
Vậy giá trị của biểu thức T = m² + n² = 1.
Câu 3:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.
a) Tính
Đầu tiên, ta cần hiểu rằng có nghĩa là tích của hai hàm số và . Ta có:
Tích của hai hàm số này là:
Ta mở ngoặc và nhân từng hạng tử:
Bây giờ, ta tính tích phân của :
Tính từng phần:
Vậy:
b) Tìm giá trị của
Để parabol tiếp xúc với đường thẳng , chúng ta cần tìm điểm chung và đảm bảo rằng đạo hàm của cả hai hàm số bằng nhau tại điểm đó.
Đạo hàm của :
Đạo hàm của :
Để hai hàm số tiếp xúc, ta cần:
Thay vào phương trình của để tìm :
Vậy điểm tiếp xúc là . Thay tọa độ này vào phương trình của :
c) Diện tích miền tô đậm
Diện tích miền tô đậm là diện tích giữa hai đồ thị từ đến . Ta tính tích phân của hiệu hai hàm số từ đến :
Tính tích phân từng phần:
Vậy:
d) Thể tích khối tròn xoay
Thể tích khối tròn xoay tạo bởi parabol và trục hoành từ đến :
Tính tích phân từng phần:
Vậy:
Kết luận
a)
b)
c) Diện tích miền tô đậm bằng (đvdr)
d) Thể tích khối tròn xoay tạo bởi parabol và trục hoành bằng (dm³)