giải chi tiết và chính xác

Câu 1: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^x + 2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm từng phần của hàm số: - Nguyên hàm của \( e^x \) là \( e^x \). - Nguyên hàm của hằng số 2 là \( 2x \). 2. Gộp lại để tìm nguyên hàm tổng: \[ \int f(x) \, dx = \int (e^x + 2) \, dx = \int e^x \, dx + \int 2 \, dx = e^x + 2x + C \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ B.~\int f(x) \, dx = e^x + 2x + C. \] Câu 2: Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=a,~x=b$, ta cần áp dụng công thức tích phân để tính diện tích dưới đồ thị hàm số. Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=a,~x=b$ là: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Lý do chọn công thức này là vì: - Nếu $f(x) \geq 0$ trên đoạn $[a; b]$, thì diện tích S sẽ là $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$. - Nếu $f(x) < 0$ trên đoạn $[a; b]$, thì diện tích S sẽ là $\int_{a}^{b} -f(x) \, dx$. - Nếu $f(x)$ đổi dấu trên đoạn $[a; b]$, ta cần chia đoạn $[a; b]$ thành các đoạn nhỏ hơn sao cho $f(x)$ không đổi dấu trên mỗi đoạn nhỏ đó, rồi tính tổng các diện tích tương ứng. Do đó, công thức chung và đúng nhất để tính diện tích S trong mọi trường hợp là: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Câu 3: Để tính tổng số học sinh, chúng ta cần cộng tất cả các số học sinh trong các khoảng thời gian đã cho. Bảng dữ liệu: - Thời gian [9,5;12,5): 3 học sinh - Thời gian [12,5;15,5): 12 học sinh - Thời gian [15,5;18,5): 15 học sinh - Thời gian [18,5;21,5): 24 học sinh - Thời gian [21,5;24,5): 2 học sinh Tổng số học sinh là: \[ 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56 \] Vậy đáp án đúng là B. 56. Đáp số: B. 56 Câu 4: Để xác định phương trình mặt cầu (S) tâm \( A(2;1;0) \) đi qua điểm \( B(0;1;2) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính bán kính của mặt cầu: - Bán kính \( R \) của mặt cầu là khoảng cách từ tâm \( A \) đến điểm \( B \). - Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ R = AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \] - Thay tọa độ của \( A \) và \( B \): \[ R = \sqrt{(0 - 2)^2 + (1 - 1)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 2. Viết phương trình mặt cầu: - Phương trình mặt cầu tâm \( (a, b, c) \) và bán kính \( R \) là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] - Thay tâm \( A(2, 1, 0) \) và bán kính \( R = 2\sqrt{2} \): \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 0)^2 = (2\sqrt{2})^2 \] - Tính \( R^2 \): \[ (2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8 \] - Vậy phương trình mặt cầu là: \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 8 \] Do đó, phương án đúng là: \[ B.~(S):~(x-2)^2+(y-1)^2+z^2=8. \] Câu 5: Để tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, ta cần tìm giá trị của $x$ làm mẫu số bằng 0, tức là $cx + d = 0$. Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng ở $x = -1$. Điều này có nghĩa là khi $x = -1$, mẫu số của hàm số sẽ bằng 0. Do đó, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = -1$. Đáp án đúng là: $C.~x=-1$ Câu 6: Để giải bất phương trình $\log_5(x-2) \leq 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_5(x-2)$, ta cần đảm bảo rằng $x-2 > 0$. Do đó: \[ x > 2 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_5(x-2) \leq 1$. Điều này tương đương với: \[ x-2 \leq 5^1 \] - Tính toán bên phải: \[ x-2 \leq 5 \] - Giải phương trình này: \[ x \leq 7 \] 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > 2$ và kết quả từ bước 2 ($x \leq 7$), ta có: \[ 2 < x \leq 7 \] - Tập nghiệm của bất phương trình là: \[ (2; 7] \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình $\log_5(x-2) \leq 1$ là $(2; 7]$. Đáp án đúng là: \[ D.~(2;7]. \]