cho hàm số f(x) = cos2x + 2x + 1

d) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ -pi /2 ;pi ] bằng 2 pi là đúng hay sai? giải thích

Question

cho hàm số f(x) = cos2x + 2x + 1

d) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ -pi /2 ;pi ] bằng 2 pi là đúng hay sai? giải thích

Accepted Answer

Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số $ f(x) $.
2. Xác định các điểm cực trị của hàm số trên đoạn $[- \frac{\pi}{2}, \pi]$.
3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn.
4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
5. Kiểm tra tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $ f(x) $.

$$ f(x) = \cos(2x) + 2x + 1 $$

Đạo hàm của $ f(x) $:

$$ f'(x) = -2\sin(2x) + 2 $$

Bước 2: Xác định các điểm cực trị của hàm số trên đoạn $[- \frac{\pi}{2}, \pi]$.

Đặt $ f'(x) = 0 $:

$$ -2\sin(2x) + 2 = 0 $$
$$ \sin(2x) = 1 $$

Giải phương trình $ \sin(2x) = 1 $:

$$ 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$
$$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) $$

Trên đoạn $[- \frac{\pi}{2}, \pi]$, các giá trị của $ x $ thỏa mãn là:

$$ x = \frac{\pi}{4} \quad \text{và} \quad x = \frac{5\pi}{4} \quad (\text{nhưng} \frac{5\pi}{4} \notin [- \frac{\pi}{2}, \pi]) $$

Vậy chỉ có $ x = \frac{\pi}{4} $ nằm trong đoạn $[- \frac{\pi}{2}, \pi]$.

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn.

Tại $ x = -\frac{\pi}{2} $:

$$ f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(2 \cdot -\frac{\pi}{2}\right) + 2 \cdot -\frac{\pi}{2} + 1 = \cos(-\pi) - \pi + 1 = -1 - \pi + 1 = -\pi $$

Tại $ x = \frac{\pi}{4} $:

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + 2 \cdot \frac{\pi}{4} + 1 = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2} + 1 = 0 + \frac{\pi}{2} + 1 = \frac{\pi}{2} + 1 $$

Tại $ x = \pi $:

$$ f(\pi) = \cos(2\pi) + 2\pi + 1 = 1 + 2\pi + 1 = 2\pi + 2 $$

Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Các giá trị của hàm số tại các điểm đã tính:

- $ f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\pi $
- $ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2} + 1 $
- $ f(\pi) = 2\pi + 2 $

Giá trị lớn nhất là $ 2\pi + 2 $ và giá trị nhỏ nhất là $ -\pi $.

Bước 5: Kiểm tra tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

$$ (2\pi + 2) + (-\pi) = \pi + 2 $$

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[- \frac{\pi}{2}, \pi]$ là $ \pi + 2 $, không phải là 2π.

Do đó, câu "Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[- \frac{\pi}{2}, \pi]$ bằng 2π" là sai.