Câu 8:
Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính trung bình cộng:
Trong đó:
- là tần số của nhóm thứ ,
- là giá trị đại diện của nhóm thứ ,
- là tổng số lượng mẫu.
Ta tính như sau:
2. Tính phương sai:
Phương sai được tính theo công thức:
Ta tính từng phần:
Bây giờ, nhân mỗi giá trị này với tần số tương ứng:
Cộng tất cả các giá trị này lại:
Cuối cùng, chia tổng này cho số lượng mẫu:
Do đó, phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là khoảng 166,744. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, đáp án gần đúng nhất là:
B. 169,94
Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: B. 169,94.
Câu 9:
Để tính , ta sẽ sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân.
Bước 1: Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân:
Bước 2: Thay các giá trị đã biết vào:
Do đó:
Bước 3: Thay các giá trị này vào biểu thức:
Vậy, .
Đáp án đúng là: B. -6.
Câu 10:
Để tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABB'A'), ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định hình chiếu trực giao của điểm C lên mặt phẳng (ABB'A'):
- Vì ABC là tam giác vuông cân tại B, nên AB = BC = 6.
- Mặt phẳng (ABB'A') là mặt phẳng đứng và chứa cạnh AB và AA'.
- Hình chiếu trực giao của điểm C lên mặt phẳng (ABB'A') là điểm B vì B là đỉnh chung của tam giác ABC và nằm trên mặt phẳng (ABB'A').
2. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABB'A'):
- Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABB'A') chính là độ dài đoạn thẳng CB.
- Vì ABC là tam giác vuông cân tại B, nên CB = AB = 6.
Do đó, khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABB'A') là 6.
Đáp án đúng là: D. 6.
Câu 11:
Cấp số nhân có và công bội .
Công thức để tính số hạng thứ trong cấp số nhân là:
Áp dụng công thức này để tính :
Vậy đáp án đúng là:
A. 16.
Câu 12:
Để giải phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Viết lại phương trình với cùng cơ số:
Ta nhận thấy rằng có thể viết dưới dạng lũy thừa của . Cụ thể:
Do đó, phương trình trở thành:
2. So sánh các mũ trong phương trình:
Vì hai vế đều có cùng cơ số là , nên ta có thể so sánh các mũ tương ứng:
3. Giải phương trình bậc nhất:
Ta giải phương trình để tìm giá trị của :
Vậy nghiệm của phương trình là .
Đáp án đúng là:
Câu 1:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.
Phần a: Tìm đạo hàm của hàm số
Hàm số đã cho là:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số:
Tính đạo hàm của tử số và mẫu số:
Thay vào công thức:
Rút gọn biểu thức:
Vậy đạo hàm của hàm số là:
Phần b: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2; 0]
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2; 0], chúng ta cần tìm các điểm cực tiểu trong khoảng này và so sánh giá trị của hàm số tại các điểm này với giá trị của hàm số tại các biên của đoạn.
Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0:
Phương trình này tương đương với:
Chia cả hai vế cho 2:
Giải phương trình bậc hai:
Các nghiệm là:
Trong đoạn [-2; 0], chỉ có nằm trong khoảng này.
Bây giờ, tính giá trị của hàm số tại các điểm:
So sánh các giá trị:
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2; 0] là:
Phần c: Tìm khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiệm cận xiên
Tiệm cận xiên của hàm số là đường thẳng .
Ta có:
Vậy tiệm cận xiên là:
Khoảng cách từ gốc tọa độ (0, 0) đến đường thẳng được tính bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Ở đây, , , , , :
Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiệm cận xiên là:
Đáp số:
a) Đạo hàm của hàm số là:
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2; 0] là:
c) Khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiệm cận xiên là:
Câu 2:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC:
- Vectơ
- Vectơ
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC có thể tìm bằng cách tính tích vector của và :
2. Viết phương trình mặt phẳng ABC:
Phương trình mặt phẳng có dạng , trong đó là vectơ pháp tuyến và là hằng số. Ta thay tọa độ điểm vào phương trình để tìm :
Thay :
Vậy phương trình mặt phẳng ABC là:
Chia cả hai vế cho -2 để đơn giản hóa:
3. Tìm khoảng cách từ gốc tọa độ O(0,0,0) đến mặt phẳng ABC:
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được tính bằng công thức:
Thay và phương trình mặt phẳng :
Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ABC là .