Xin cách giải đơn giản PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng,hoặc sai.,Câu 1. Trong một trận đấu bóng đá, một cầu thủ hậu vệ A,đang có bóng ở phần sân nhà và quyết định chuyền bóng cho,,tiền đạo B của đội mình. Giả sử tại thời điểm ban đầu $t=0,$,quả bóng bắt đầu rời khỏi chân của hậu vệ A. Do đường,chuyền bị lỗi nên sau khi chuyền, quả bóng bay lên và chạm,mặt sân lần đầu tiên ở giây thứ tư, rồi lại bay lên và chạm,mặt sân lần thứ hai ở giây thứ sáu. Độ cao tính bằng mét của,quả bóng so với mặt sân ở giây thứ t, $(0\leq t\leq6)$ được cho,bởi hàm số liên tục $h(t)=\left\{\begin{array}{ll}-t^2+at&khi~0\leq t\leq4\-2t^2+bt+c&khi~4

Question

Xin cách giải đơn giản PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng,hoặc sai.,Câu 1. Trong một trận đấu bóng đá, một cầu thủ hậu vệ A,đang có bóng ở phần sân nhà và quyết định chuyền bóng cho,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/5169ac68306d4992bebba05ecadfcb67.jpg />,tiền đạo B của đội mình. Giả sử tại thời điểm ban đầu $t=0,$,quả bóng bắt đầu rời khỏi chân của hậu vệ A. Do đường,chuyền bị lỗi nên sau khi chuyền, quả bóng bay lên và chạm,mặt sân lần đầu tiên ở giây thứ tư, rồi lại bay lên và chạm,mặt sân lần thứ hai ở giây thứ sáu. Độ cao tính bằng mét của,quả bóng so với mặt sân ở giây thứ t, $(0\leq t\leq6)$ được cho,bởi hàm số liên tục $h(t)=\left\{\begin{array}{ll}-t^2+at&khi~0\leq t\leq4\-2t^2+bt+c&khi~4<t\leq6\end{array}ight..$,$a)~h(4)=h(6).$,$b)~a=3,~b=-2,~c=2.$,$c)~h^\prime(2)=h^\prime(5).$,d) Độ cao lớn nhất mà quả bóng đạt được so với mặt sân trong 6 giây đầu là 3 mét.

Accepted Answer

Câu 1.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài.

Bước 1: Xác định các điều kiện và hàm số
Hàm số liên tục $h(t)$ mô tả độ cao của quả bóng so với mặt sân ở giây thứ $t$:
$$ h(t) = \begin{cases} 
-t^2 + at & \text{khi } 0 \leq t \leq 4 \
-2t^2 + bt + c & \text{khi } 4 < t \leq 6 
\end{cases} $$

Bước 2: Xác định các điều kiện liên tục
Do hàm số liên tục tại $t = 4$, ta có:
$$ h(4) = -4^2 + 4a = -16 + 4a $$
$$ h(6) = -2(6)^2 + 6b + c = -72 + 6b + c $$
Vì $h(4) = h(6)$, ta có:
$$ -16 + 4a = -72 + 6b + c \quad \text{(1)} $$

Bước 3: Xác định các điều kiện đạo hàm liên tục
Đạo hàm của $h(t)$:
$$ h'(t) = \begin{cases} 
-2t + a & \text{khi } 0 \leq t \leq 4 \
-4t + b & \text{khi } 4 < t \leq 6 
\end{cases} $$
Do đạo hàm liên tục tại $t = 4$, ta có:
$$ h'(4) = -2(4) + a = -8 + a $$
$$ h'(4) = -4(4) + b = -16 + b $$
Vì $h'(4)$ liên tục, ta có:
$$ -8 + a = -16 + b \quad \text{(2)} $$

Bước 4: Xác định các điều kiện khác
Ta biết rằng $h'(2) = h'(5)$:
$$ h'(2) = -2(2) + a = -4 + a $$
$$ h'(5) = -4(5) + b = -20 + b $$
Vì $h'(2) = h'(5)$, ta có:
$$ -4 + a = -20 + b \quad \text{(3)} $$

Bước 5: Giải hệ phương trình
Từ (2) và (3):
$$ -8 + a = -16 + b \quad \Rightarrow \quad a - b = -8 \quad \text{(4)} $$
$$ -4 + a = -20 + b \quad \Rightarrow \quad a - b = -16 \quad \text{(5)} $$

Phương trình (4) và (5) mâu thuẫn, do đó ta cần kiểm tra lại các điều kiện đã cho. Ta thấy rằng điều kiện $h'(2) = h'(5)$ không đúng, vì vậy ta chỉ cần sử dụng điều kiện liên tục và đạo hàm liên tục.

Từ (2):
$$ a - b = -8 \quad \Rightarrow \quad b = a + 8 $$

Thay vào (1):
$$ -16 + 4a = -72 + 6(a + 8) + c $$
$$ -16 + 4a = -72 + 6a + 48 + c $$
$$ -16 + 4a = -24 + 6a + c $$
$$ -16 + 24 = 6a - 4a + c $$
$$ 8 = 2a + c \quad \Rightarrow \quad c = 8 - 2a $$

Bước 6: Kiểm tra các giá trị
Ta thử các giá trị $a = 3$, $b = -2$, $c = 2$:
$$ b = a + 8 \quad \Rightarrow \quad -2 = 3 + 8 \quad \text{(sai)} $$

Do đó, ta cần kiểm tra lại các giá trị khác. Ta thấy rằng các giá trị $a = 3$, $b = -2$, $c = 2$ không thỏa mãn các điều kiện đã cho.

Bước 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $h(t)$ trong khoảng $0 \leq t \leq 6$. Ta xét các điểm cực đại của hàm số:
$$ h(t) = -t^2 + 3t \quad \text{khi } 0 \leq t \leq 4 $$
Đạo hàm:
$$ h'(t) = -2t + 3 $$
Cực đại khi $h'(t) = 0$:
$$ -2t + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{3}{2} $$
$$ h\left(\frac{3}{2}\right) = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} = \frac{9}{4} = 2.25 $$

$$ h(t) = -2t^2 - 2t + 2 \quad \text{khi } 4 < t \leq 6 $$
Đạo hàm:
$$ h'(t) = -4t - 2 $$
Cực đại khi $h'(t) = 0$:
$$ -4t - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = -\frac{1}{2} \quad \text{(loại)} $$

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số là 3 mét, đạt được khi $t = 2$.

Đáp án:
a) $h(4) = h(6)$
b) $a = 3$, $b = -2$, $c = 2$
c) $h'(2) = h'(5)$
d) Độ cao lớn nhất mà quả bóng đạt được so với mặt sân trong 6 giây đầu là 3 mét.