giải chi tiết

Câu 3: Để tính độ dài máng trượt nước, ta cần tính bán kính của cung tròn đi qua các điểm A, B và C. Ta sẽ sử dụng phương pháp tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bước 1: Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. - Độ dài AB: \[ AB = \sqrt{(6 - 0)^2 + (7 - 0)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + 7^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 49 + 16} = \sqrt{101} \] - Độ dài BC: \[ BC = \sqrt{(6 - 5)^2 + (7 - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + 7^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 49 + 1} = \sqrt{51} \] - Độ dài CA: \[ CA = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{5^2 + 0 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \] Bước 2: Tính diện tích tam giác ABC bằng công thức Heron. - Nửa chu vi p: \[ p = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{\sqrt{101} + \sqrt{51} + \sqrt{34}}{2} \] - Diện tích S: \[ S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - CA)} \] \[ S = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{101} + \sqrt{51} + \sqrt{34}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{101} + \sqrt{51} + \sqrt{34}}{2} - \sqrt{101}\right)\left(\frac{\sqrt{101} + \sqrt{51} + \sqrt{34}}{2} - \sqrt{51}\right)\left(\frac{\sqrt{101} + \sqrt{51} + \sqrt{34}}{2} - \sqrt{34}\right)} \] Bước 3: Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. \[ R = \frac{AB \cdot BC \cdot CA}{4S} \] Bước 4: Tính độ dài cung tròn. - Góc giữa các vectơ OA và OB: \[ \cos \theta = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{|\vec{OA}| |\vec{OB}|} \] \[ \vec{OA} = (0, 0, 5), \quad \vec{OB} = (6, 7, 1) \] \[ \vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0 \cdot 6 + 0 \cdot 7 + 5 \cdot 1 = 5 \] \[ |\vec{OA}| = 5, \quad |\vec{OB}| = \sqrt{6^2 + 7^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 49 + 1} = \sqrt{86} \] \[ \cos \theta = \frac{5}{5 \cdot \sqrt{86}} = \frac{1}{\sqrt{86}} \] \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{86}}\right) \] - Độ dài cung tròn: \[ L = R \cdot \theta \] Cuối cùng, ta thực hiện các phép tính cụ thể để tìm độ dài cung tròn và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét. Độ dài máng trượt nước đó là khoảng 10 mét (sau khi làm tròn). Câu 4: Diện tích mảnh vườn hoa dạng hình tròn là: \[ S_{\text{hình tròn}} = \pi \times r^2 = \pi \times 6^2 = 36\pi \, \text{m}^2 \] Diện tích hình chữ nhật ABCD là: \[ S_{ABCD} = AB \times BC = 6 \times 6 = 36 \, \text{m}^2 \] Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: \[ S_{MNPQ} = MQ \times NP = 6 \times 6 = 36 \, \text{m}^2 \] Diện tích phần đất trồng hoa là: \[ S_{\text{trồng hoa}} = S_{\text{hình tròn}} - S_{ABCD} - S_{MNPQ} = 36\pi - 36 - 36 = 36(\pi - 2) \, \text{m}^2 \] Số tiền cần để trồng hoa là: \[ \text{Số tiền} = S_{\text{trồng hoa}} \times 100000 = 36(\pi - 2) \times 100000 \, \text{đồng} \] Chuyển đổi sang đơn vị triệu đồng: \[ \text{Số tiền (triệu đồng)} = \frac{36(\pi - 2) \times 100000}{1000000} = 36(\pi - 2) \times 0.1 = 3.6(\pi - 2) \] Lấy giá trị $\pi \approx 3.14$: \[ \text{Số tiền (triệu đồng)} = 3.6(3.14 - 2) = 3.6 \times 1.14 = 4.104 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần chục: \[ \text{Số tiền (triệu đồng)} \approx 4.1 \] Đáp số: 4.1 triệu đồng.