Câu 5.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị: Các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn, và các điểm giao với trục hoành và trục tung.
2. Xác định dấu của đạo hàm : Dựa vào đồ thị của , chúng ta có thể suy ra dấu của ở các khoảng khác nhau.
3. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến: Dựa vào dấu của đạo hàm .
Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.
Bước 1: Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị
- Điểm cực đại: Đồ thị đạt cực đại tại và .
- Điểm cực tiểu: Đồ thị đạt cực tiểu tại .
- Điểm uốn: Đồ thị có điểm uốn tại và .
- Điểm giao với trục hoành: Đồ thị cắt trục hoành tại , , , và .
- Điểm giao với trục tung: Đồ thị cắt trục tung tại (tức là ).
Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm
- Khoảng : Đồ thị giảm, do đó .
- Khoảng : Đồ thị tăng, do đó .
- Khoảng : Đồ thị giảm, do đó .
- Khoảng : Đồ thị giảm, do đó .
- Khoảng : Đồ thị tăng, do đó .
- Khoảng : Đồ thị tăng, do đó .
- Khoảng : Đồ thị giảm, do đó .
- Khoảng : Đồ thị giảm, do đó .
Bước 3: Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến
- Khoảng đồng biến: , , và .
- Khoảng nghịch biến: , , , , và .
Kết luận
- Điểm cực đại: và .
- Điểm cực tiểu: .
- Điểm uốn: và .
- Điểm giao với trục hoành: , , , và .
- Điểm giao với trục tung: (tức là ).
- Khoảng đồng biến: , , và .
- Khoảng nghịch biến: , , , , và .
Câu 1.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào đồ thị của hàm số để xác định các giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên đoạn .
1. Xác định các điểm cực trị:
- Từ đồ thị, ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm với giá trị .
- Hàm số đạt cực tiểu tại điểm với giá trị .
2. Xác định giá trị của hàm số tại các biên của đoạn:
- Tại , giá trị của hàm số là .
- Tại , giá trị của hàm số là .
3. So sánh các giá trị để xác định GTLN và GTNN:
- Các giá trị cần so sánh là: , , , và .
- Giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số trên đoạn là , đạt được khi .
- Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên đoạn là , đạt được khi .
Kết luận:
- Giá trị lớn nhất của hàm số là , đạt được khi .
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số là , đạt được khi .
Câu 6.
Trước tiên, chúng ta cần hiểu rằng trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', các vectơ đại lượng có thể được cộng lại theo quy tắc hình học hoặc đại số. Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một.
A.
- Đây là khẳng định sai vì không phải là tổng của và .
B.
- Đây là khẳng định đúng vì theo quy tắc cộng vectơ trong hình hộp, sẽ dẫn đến .
C.
- Đây là khẳng định sai vì nó không có ý nghĩa rõ ràng và không liên quan đến bất kỳ vectơ nào cụ thể trong hình hộp.
D.
- Đây là khẳng định sai vì và là hai điểm, không phải là vectơ, và không thể cộng trực tiếp như vậy.
Vậy khẳng định đúng là:
B.
Đáp án: B.
Câu 7.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các thông tin từ đồ thị và sử dụng chúng để tìm giá trị của và .
1. Xác định điểm ngắt với trục y:
- Khi , ta có . Điều này cho thấy đường thẳng cắt trục y tại điểm .
2. Xác định điểm ngắt với trục x:
- Khi , ta có . Điều này xảy ra khi , tức là .
- Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng cắt trục x tại điểm . Do đó, , suy ra .
3. Xác định điểm ngắt với trục y:
- Khi , ta có . Điều này cho thấy đường thẳng cắt trục y tại điểm .
- Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng cắt trục y tại điểm . Do đó, , suy ra .
4. Tìm giá trị của biểu thức :
- Ta có .
- Thay vào biểu thức , ta có .
- Biểu thức trở thành .
5. Tìm giá trị của :
- Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng cắt trục y tại điểm . Điều này cho thấy .
6. Tính giá trị cuối cùng:
- Biểu thức trở thành .
Vậy giá trị của biểu thức là .
Đáp số: .
Câu 2.
Câu hỏi:
Cho hàm số có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Tìm giá trị của .
A. 4
B. 3
C. 0
D. -1
Câu trả lời:
Để tìm giá trị của , chúng ta cần xác định tọa độ của điểm trên đồ thị hàm số khi .
Trên đồ thị, khi , giá trị của là 3. Do đó, .
Vậy đáp án đúng là B. 3.
Đáp số: B. 3
Câu 8.
Để xác định tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số , ta cần tìm đạo hàm của hàm số này.
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số:
Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm:
- Hàm số đồng biến khi đạo hàm dương:
- Hàm số nghịch biến khi đạo hàm âm:
Ta giải bất phương trình:
Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng .
Tương tự, ta giải bất phương trình:
Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng .
Bước 3: Kiểm tra các khẳng định:
A. Hàm số đồng biến trên khoảng : Sai vì khoảng này không liên quan đến khoảng đồng biến của hàm số.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng : Đúng.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng : Sai.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng : Đúng.
Như vậy, khẳng định đúng là:
B. Hàm số đồng biến trên khoảng
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
Đáp án: B và D.
Câu 9.
Để tính tổng các cực trị của hàm số , chúng ta cần xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số này từ đồ thị.
Bước 1: Xác định các điểm cực đại và cực tiểu từ đồ thị của hàm số .
Từ đồ thị, ta thấy:
- Điểm cực đại là với giá trị .
- Điểm cực tiểu là với giá trị .
Bước 2: Tính tổng các cực trị.
Tổng các cực trị của hàm số là:
Vậy tổng các cực trị của hàm số là 1.
Đáp án đúng là: B. -1.
Câu 3.
Để tìm cực đại của hàm số , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm miền xác định của hàm số:
Ta cần .
Giải bất phương trình:
Đặt . Ta có:
Tìm nghiệm của phương trình :
Áp dụng công thức nghiệm:
Vậy:
Do đó, khi .
2. Tìm đạo hàm của hàm số:
Đặt , ta có:
Tính đạo hàm :
Vậy:
3. Tìm điểm cực đại:
Đặt :
4. Kiểm tra tính chất của đạo hàm tại điểm :
- Khi , nên .
- Khi , nên .
Do đó, là điểm cực đại.
5. Tính giá trị cực đại của hàm số:
Thay vào hàm số:
Vậy giá trị cực đại của hàm số là 4, đạt được khi .
Đáp án đúng là: D. 4.
Câu 4.
Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số , ta thực hiện phép chia đa thức như sau:
1. Chia cho :
- Lấy chia cho được . Nhân với được .
- Lấy được .
- Lấy chia cho được . Nhân với được .
- Lấy được .
Như vậy, ta có:
Khi tiến đến vô cùng (), phần sẽ tiến đến 0. Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là:
Vậy khẳng định đúng là: