Câu 50-51 húuuuue

Câu 50. Để xác định hàm số nào có đúng hai điểm cực trị, ta sẽ kiểm tra đạo hàm của mỗi hàm số và tìm các điểm cực trị. A. \( y = x + \frac{1}{x+1} \) Tính đạo hàm: \[ y' = 1 - \frac{1}{(x+1)^2} \] Đặt \( y' = 0 \): \[ 1 - \frac{1}{(x+1)^2} = 0 \] \[ \frac{1}{(x+1)^2} = 1 \] \[ (x+1)^2 = 1 \] \[ x+1 = \pm 1 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = -2 \] Ta có hai nghiệm \( x = 0 \) và \( x = -2 \). Kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng: - Khi \( x < -2 \), \( y' > 0 \) - Khi \( -2 < x < 0 \), \( y' < 0 \) - Khi \( x > 0 \), \( y' > 0 \) Vậy hàm số có hai điểm cực trị tại \( x = -2 \) và \( x = 0 \). B. \( y = x^3 + 3x^2 + 7x - 2 \) Tính đạo hàm: \[ y' = 3x^2 + 6x + 7 \] Phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 + 6x + 7 = 0 \] Tính delta: \[ \Delta = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 36 - 84 = -48 \] Vì \( \Delta < 0 \), phương trình vô nghiệm, nên hàm số không có điểm cực trị. C. \( y = -x^4 - 2x^2 + 3 \) Tính đạo hàm: \[ y' = -4x^3 - 4x \] Đặt \( y' = 0 \): \[ -4x(x^2 + 1) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x^2 + 1 = 0 \] Phương trình \( x^2 + 1 = 0 \) vô nghiệm, vậy chỉ có nghiệm \( x = 0 \). Kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng: - Khi \( x < 0 \), \( y' > 0 \) - Khi \( x > 0 \), \( y' < 0 \) Vậy hàm số có một điểm cực trị tại \( x = 0 \). D. \( y = x - \frac{2}{x+1} \) Tính đạo hàm: \[ y' = 1 + \frac{2}{(x+1)^2} \] Phương trình \( y' = 0 \): \[ 1 + \frac{2}{(x+1)^2} = 0 \] Vì \( \frac{2}{(x+1)^2} > 0 \) với mọi \( x \neq -1 \), phương trình này vô nghiệm, nên hàm số không có điểm cực trị. Kết luận: Hàm số \( A.~y = x + \frac{1}{x+1} \) có đúng hai điểm cực trị. Đáp án: \( A.~y = x + \frac{1}{x+1} \) Câu 51. Để xác định hàm số nào trong các lựa chọn không có cực trị, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số. A. \( y = 2x + \frac{2}{x+1} \) - Tìm đạo hàm: \( y' = 2 - \frac{2}{(x+1)^2} \) - Đặt \( y' = 0 \): \[ 2 - \frac{2}{(x+1)^2} = 0 \implies \frac{2}{(x+1)^2} = 2 \implies (x+1)^2 = 1 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = -2 \] - Kiểm tra dấu của đạo hàm ở các điểm này: - \( y'' = \frac{4}{(x+1)^3} \) - \( y''(0) = 4 > 0 \) (cực tiểu) - \( y''(-2) = -4 < 0 \) (cực đại) Hàm số này có cực trị. B. \( y = x^3 + 3x^2 \) - Tìm đạo hàm: \( y' = 3x^2 + 6x \) - Đặt \( y' = 0 \): \[ 3x^2 + 6x = 0 \implies 3x(x + 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = -2 \] - Kiểm tra dấu của đạo hàm ở các điểm này: - \( y'' = 6x + 6 \) - \( y''(0) = 6 > 0 \) (cực tiểu) - \( y''(-2) = -6 < 0 \) (cực đại) Hàm số này có cực trị. C. \( y = -x^4 + 2x^2 + 3 \) - Tìm đạo hàm: \( y' = -4x^3 + 4x \) - Đặt \( y' = 0 \): \[ -4x^3 + 4x = 0 \implies 4x(-x^2 + 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = \pm 1 \] - Kiểm tra dấu của đạo hàm ở các điểm này: - \( y'' = -12x^2 + 4 \) - \( y''(0) = 4 > 0 \) (cực tiểu) - \( y''(1) = -8 < 0 \) (cực đại) - \( y''(-1) = -8 < 0 \) (cực đại) Hàm số này có cực trị. D. \( y = \frac{x+1}{x-2} \) - Tìm đạo hàm: \( y' = \frac{(x-2) - (x+1)}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2} \) - Đặt \( y' = 0 \): \[ \frac{-3}{(x-2)^2} = 0 \implies \text{Không có nghiệm} \] Hàm số này không có cực trị vì đạo hàm không bao giờ bằng 0. Kết luận: Hàm số không có cực trị là \( y = \frac{x+1}{x-2} \). Đáp án đúng là: \(\textcircled{D}\).