chọn đáp án đúng

Câu 1: Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x + 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm từng phần của hàm số: - Nguyên hàm của $2x$ là $\int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$. - Nguyên hàm của $1$ là $\int 1 \, dx = x$. 2. Gộp lại để tìm nguyên hàm tổng: - Nguyên hàm của $f(x) = 2x + 1$ là $\int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C$. Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~x^2 + x + C. \] Vậy, nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x + 1$ là $x^2 + x + C$. Câu 2: Để tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị $(P):~y=2x-x^2$ và trục Ox quay quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của đồ thị với trục Ox: Đặt $y = 0$, ta có: \[ 2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Vậy, giao điểm của đồ thị với trục Ox là $(0, 0)$ và $(2, 0)$. 2. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: Thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi cho miền phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục Ox và hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$ quay quanh trục Ox được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này, $f(x) = 2x - x^2$, $a = 0$, và $b = 2$. Do đó: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (2x - x^2)^2 \, dx \] 3. Tính tích phân: Ta có: \[ (2x - x^2)^2 = 4x^2 - 4x^3 + x^4 \] Vậy: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (4x^2 - 4x^3 + x^4) \, dx \] Tính từng phần tích phân: \[ \int_{0}^{2} 4x^2 \, dx = 4 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 4 \left( \frac{8}{3} - 0 \right) = \frac{32}{3} \] \[ \int_{0}^{2} -4x^3 \, dx = -4 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = -4 \left( \frac{16}{4} - 0 \right) = -16 \] \[ \int_{0}^{2} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \frac{32}{5} - 0 = \frac{32}{5} \] Cộng lại: \[ V = \pi \left( \frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5} \right) \] Chuyển về cùng mẫu số: \[ \frac{32}{3} = \frac{160}{15}, \quad -16 = -\frac{240}{15}, \quad \frac{32}{5} = \frac{96}{15} \] Vậy: \[ V = \pi \left( \frac{160}{15} - \frac{240}{15} + \frac{96}{15} \right) = \pi \left( \frac{160 - 240 + 96}{15} \right) = \pi \left( \frac{16}{15} \right) = \frac{16\pi}{15} \] Vậy, thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi cho (H) quay quanh trục Ox là $\boxed{\frac{16\pi}{15}}$. Câu 3: Để tìm nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất (Q1), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng tần số: Tổng tần số = 5 + 5 + 10 + 7 + 9 = 36 2. Tìm vị trí của Q1: Vị trí của Q1 = $\frac{1}{4} \times 36 = 9$ 3. Xác định nhóm chứa Q1: - Nhóm [18;22) có tần số là 5, tổng tần số từ đầu đến nhóm này là 5. - Nhóm [22;26) có tần số là 5, tổng tần số từ đầu đến nhóm này là 5 + 5 = 10. Vì vị trí của Q1 là 9, nằm trong khoảng từ 5 đến 10, nên nhóm chứa Q1 là nhóm [22;26). Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~[22;26) \] Câu 4: Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) được cho bởi phương trình tham số \(\frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{-5} = \frac{z+2}{3}\), ta cần xác định các hệ số ở mẫu số của các phân số này. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{-5} = \frac{z + 2}{3} \] Từ phương trình này, ta thấy rằng các hệ số ở mẫu số tương ứng với các thành phần của vectơ chỉ phương. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) sẽ là: \[ \overrightarrow{u} = (2, -5, 3) \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\overrightarrow{u} = (2, -5, 3) \] Câu 5: Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x + 4}{x + 1} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x + 4}{x + 1} \) có mẫu số là \( x + 1 \). Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1 \] Vậy ĐKXĐ của hàm số là \( x \neq -1 \). 2. Tìm tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{f(x)}{g(x)} \) là các giá trị \( x = a \) sao cho \( g(a) = 0 \) và \( f(a) \neq 0 \). Trong trường hợp này, mẫu số \( g(x) = x + 1 \) bằng 0 khi \( x = -1 \). Ta kiểm tra giá trị của tử số \( f(x) = x^2 - 3x + 4 \) tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^2 - 3(-1) + 4 = 1 + 3 + 4 = 8 \neq 0 \] Vì \( g(-1) = 0 \) và \( f(-1) \neq 0 \), nên \( x = -1 \) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~x = -1} \] Câu 6: Để giải bất phương trình $\log_3(x-1) < 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_3(x-1)$, ta cần đảm bảo rằng $x-1 > 0$. Do đó: \[ x > 1 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_3(x-1) < 1$. Để giải bất phương trình này, ta sử dụng tính chất của hàm logarit: \[ \log_3(x-1) < \log_3(3) \] - Vì hàm logarit cơ sở 3 là hàm đồng biến, nên ta có: \[ x-1 < 3 \] - Giải bất phương trình này: \[ x < 4 \] 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > 1$ và kết quả từ bước 2 ($x < 4$), ta có: \[ 1 < x < 4 \] - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ S = (1; 4) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~S=(1;4). \] Câu 7: Để xác định véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P):~x-2y+z-5=0$, ta cần tìm véctơ có các thành phần tương ứng với các hệ số của biến trong phương trình mặt phẳng. Phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng: \[ x - 2y + z - 5 = 0 \] Từ phương trình này, ta thấy các hệ số của \(x\), \(y\), và \(z\) lần lượt là 1, -2, và 1. Do đó, véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ sẽ có dạng: \[ \overrightarrow{n} = (1, -2, 1) \] So sánh với các lựa chọn đã cho: \[ A.~\overrightarrow{n_4}=(1;-2;1) \] \[ B.~\overrightarrow{n_3}=(1;2;1) \] \[ C.~\overrightarrow{n_2}=(1;-2;-5) \] \[ D.~\overrightarrow{n_1}=(1;-2;-1) \] Ta thấy rằng véctơ $\overrightarrow{n_4} = (1, -2, 1)$ chính là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~\overrightarrow{n_4}=(1;-2;1)} \] Câu 8: Thể tích của khối chóp được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] Trong bài này, diện tích đáy là \( 32a^2 \) và chiều cao là \( 5a \). Áp dụng công thức trên, ta có: \[ V = \frac{1}{3} \times 32a^2 \times 5a \] Tính toán tiếp: \[ V = \frac{1}{3} \times 160a^3 \] \[ V = \frac{160}{3}a^3 \] Vậy thể tích của khối chóp là: \[ \boxed{\frac{160}{3}a^3} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\frac{160}{3}a^3 \] Câu 9: Phương trình $\cos x = \cos \frac{\pi}{4}$ có dạng chuẩn là $\cos x = \cos \alpha$, trong đó $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Theo công thức giải phương trình lượng giác cơ bản, ta có: \[ x = \pm \alpha + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Thay $\alpha = \frac{\pi}{4}$ vào, ta được: \[ x = \pm \frac{\pi}{4} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Do đó, nghiệm của phương trình là: \[ x = \pm \frac{\pi}{4} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~x = \pm \frac{\pi}{4} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]