Đúnggggg / saiiiii PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.,Câu 64. Giả sử hàm số $(C):~y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng K. Nhận xét các phát biểu sau:,A. Nếu hàm số (C) đạt cực tiểu trên khoảng K thì cũng sẽ đạt cực đại trên khoảng đó.,B. Nếu hàm số (C) có hai điểm cực tiểu thì phải có một điểm cực đại.,C. Số nghiệm của phương trình $f^\prime(x)=0$ bằng số điểm cực trị của hàm số đã cho.,D. Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.,Câu 65. Cho hàm số $y=x^3+3x^2-9x+15.$,A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-3;1).$ B. Hàm số đồng biến trên R,C. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-3;+\infty)$,Câu 66. Cho hàm số $y=-x^3-x^2+5x+4.$,A. Hàm số nghịch biến trên $(-\frac53;1).5$ B. Hàm số đồng biến trên $(-\frac53;1)
e$,C. Hàm số đồng biến trên $(-\infty;-\frac53);5$ D. Hàm số đồng biến trên $(1;+\infty)$,Câu 67. Cho hàm số $y=\frac{3x-1}{-4+2x}.$,A. Hàm số luôn nghịch biến trên R ... B. Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.,C. Đồ thị hàm số không có cực trị. D. Hàm số nb trên các khoảng $(-\infty;-2)$ và $(-2;+\infty)$,Câu 68. Cho hàm số $y=\sqrt{3x^2-x^3}.$,A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2).$ B. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;0);(2;3).$,C. Hàm số nbiến trên các khoảng $(-\infty;0);(2;3)$ D. Đồ thị hàm số có hai cực trị.,Câu 69. Cho hàm số $y=|x+1|(x-2).$,A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;\frac12)$ B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-1)$

Question

Accepted Answer

Câu 64. A. Phát biểu này sai vì hàm số có thể đạt cực tiểu mà không cần phải đạt cực đại trên cùng một khoảng. Ví dụ, hàm số $y=x^3$ đạt cực tiểu tại $x=0$ nhưng không có cực đại. B. Phát biểu này sai vì hàm số có thể có hai điểm cực tiểu mà không cần phải có điểm cực đại. Ví dụ, hàm số $y=x^4 - 2x^2 + 1$ có hai điểm cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$, nhưng không có điểm cực đại. C. Phát biểu này sai vì số nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ không luôn bằng số điểm cực trị của hàm số. Ví dụ, hàm số $y=x^3$ có $f'(x) = 3x^2$, phương trình $3x^2 = 0$ có nghiệm duy nhất $x=0$, nhưng tại điểm này hàm số không có cực trị. D. Phát biểu này đúng vì hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Ví dụ, hàm số $y=|x|$ đạt cực tiểu tại $x=0$, nhưng tại điểm này hàm số không có đạo hàm. Vậy phát biểu đúng là D. Câu 65. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số. 2. Xác định các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. 3. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. 4. Kiểm tra các lựa chọn đã cho để xác định câu trả lời đúng. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 9x + 15) = 3x^2 + 6x - 9 $$ Bước 2: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: $$ 3x^2 + 6x - 9 = 0 $$ Chia cả phương trình cho 3: $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ Phương trình này có thể được phân tích thành: $$ (x + 3)(x - 1) = 0 $$ Vậy các nghiệm là: $$ x = -3 \quad \text{và} \quad x = 1 $$ Bước 3: Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số: - Trên khoảng $(-\infty, -3)$, chọn $x = -4$: $$ y' = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 $$ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, -3)$. - Trên khoảng $(-3, 1)$, chọn $x = 0$: $$ y' = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 < 0 $$ Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-3, 1)$. - Trên khoảng $(1, +\infty)$, chọn $x = 2$: $$ y' = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0 $$ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(1, +\infty)$. Bước 4: Kiểm tra các lựa chọn đã cho: A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-3;1)$. Đúng. B. Hàm số đồng biến trên R. Sai vì hàm số nghịch biến trên khoảng $(-3;1)$. C. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Đúng vì có hai điểm cực trị tại $x = -3$ và $x = 1$. D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-3;+\infty)$. Sai vì hàm số nghịch biến trên khoảng $(-3;1)$. Vậy đáp án đúng là: A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-3;1)$. C. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Câu 66. Để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = -x^3 - x^2 + 5x + 4$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx} (-x^3 - x^2 + 5x + 4) = -3x^2 - 2x + 5 $$ Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ y' = -3x^2 - 2x + 5 = 0 $$ Ta giải phương trình bậc hai này: $$ -3x^2 - 2x + 5 = 0 $$ Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Ở đây, $a = -3$, $b = -2$, $c = 5$: $$ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(-3)(5)}}{2(-3)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{-6} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{-6} = \frac{2 \pm 8}{-6} $$ Do đó: $$ x_1 = \frac{2 + 8}{-6} = \frac{10}{-6} = -\frac{5}{3} $$ $$ x_2 = \frac{2 - 8}{-6} = \frac{-6}{-6} = 1 $$ Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm $y'$ trên các khoảng được xác định bởi các nghiệm $x = -\frac{5}{3}$ và $x = 1$: - Trên khoảng $(-\infty, -\frac{5}{3})$, chọn $x = -2$: $$ y' = -3(-2)^2 - 2(-2) + 5 = -3(4) + 4 + 5 = -12 + 4 + 5 = -3 < 0 $$ Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty, -\frac{5}{3})$. - Trên khoảng $(- \frac{5}{3}, 1)$, chọn $x = 0$: $$ y' = -3(0)^2 - 2(0) + 5 = 5 > 0 $$ Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(- \frac{5}{3}, 1)$. - Trên khoảng $(1, +\infty)$, chọn $x = 2$: $$ y' = -3(2)^2 - 2(2) + 5 = -3(4) - 4 + 5 = -12 - 4 + 5 = -11 < 0 $$ Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(1, +\infty)$. Từ các kết quả trên, ta thấy rằng: - Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \frac{5}{3}, 1)$. - Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty, -\frac{5}{3})$ và $(1, +\infty)$. Vậy đáp án đúng là: B. Hàm số đồng biến trên $(-\frac{5}{3}; 1)$. Câu 67. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng tính chất của hàm số $y = \frac{3x - 1}{-4 + 2x}$. A. Hàm số luôn nghịch biến trên R Đầu tiên, ta tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \left( \frac{3x - 1}{-4 + 2x} \right)' $$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $$ y' = \frac{(3x - 1)'(-4 + 2x) - (3x - 1)(-4 + 2x)'}{(-4 + 2x)^2} $$ $$ y' = \frac{3(-4 + 2x) - (3x - 1) \cdot 2}{(-4 + 2x)^2} $$ $$ y' = \frac{-12 + 6x - 6x + 2}{(-4 + 2x)^2} $$ $$ y' = \frac{-10}{(-4 + 2x)^2} $$ Vì $(-4 + 2x)^2$ luôn dương (trừ khi $x = 2$, nhưng tại điểm này hàm số không xác định), nên $y'$ luôn âm: $$ y' = \frac{-10}{(-4 + 2x)^2} < 0 $$ Do đó, hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó, tức là trên các khoảng $(-\infty, 2)$ và $(2, +\infty)$. Tuy nhiên, hàm số không xác định tại $x = 2$, nên không thể nói là luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B. Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định Từ kết quả trên, ta thấy rằng $y'$ luôn âm, do đó hàm số không đồng biến trên bất kỳ khoảng xác định nào. C. Đồ thị hàm số không có cực trị Vì đạo hàm $y'$ luôn âm, hàm số không có điểm cực đại hoặc cực tiểu. Do đó, đồ thị hàm số không có cực trị. D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty, 2)$ và $(2, +\infty)$ Như đã chứng minh ở trên, $y'$ luôn âm trên các khoảng $(-\infty, 2)$ và $(2, +\infty)$, nên hàm số nghịch biến trên các khoảng này. Kết luận Các lựa chọn đúng là: - C. Đồ thị hàm số không có cực trị. - D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty, 2)$ và $(2, +\infty)$. Câu 68. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của hàm số. 2. Tính đạo hàm của hàm số. 3. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số dựa vào dấu của đạo hàm. 4. Kiểm tra các đáp án đã cho để xác định đáp án đúng. Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của hàm số Hàm số $y = \sqrt{3x^2 - x^3}$ có nghĩa là $3x^2 - x^3 \geq 0$. Ta giải bất phương trình này: $$3x^2 - x^3 \geq 0$$ $$x^2(3 - x) \geq 0$$ Từ đây, ta thấy rằng $x^2 \geq 0$ luôn đúng, do đó ta chỉ cần giải $3 - x \geq 0$: $$3 - x \geq 0$$ $$x \leq 3$$ Vậy ĐKXĐ của hàm số là $x \leq 3$. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số Ta có: $$y = \sqrt{3x^2 - x^3}$$ Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số căn bậc hai: $$y' = \frac{1}{2\sqrt{3x^2 - x^3}} \cdot (6x - 3x^2)$$ $$y' = \frac{3x(2 - x)}{2\sqrt{3x^2 - x^3}}$$ Bước 3: Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số Đạo hàm $y'$ có dạng: $$y' = \frac{3x(2 - x)}{2\sqrt{3x^2 - x^3}}$$ Để xác định dấu của $y'$, ta xét các trường hợp: - Khi $x < 0$: $3x < 0$, $2 - x > 0$, $\sqrt{3x^2 - x^3} > 0$. Vậy $y' < 0$. - Khi $0 < x < 2$: $3x > 0$, $2 - x > 0$, $\sqrt{3x^2 - x^3} > 0$. Vậy $y' > 0$. - Khi $x > 2$: $3x > 0$, $2 - x < 0$, $\sqrt{3x^2 - x^3} > 0$. Vậy $y' < 0$. Do đó: - Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$. - Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; 3)$. Bước 4: Kiểm tra các đáp án đã cho A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$. Đúng. B. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$; $(2; 3)$. Sai. C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$; $(2; 3)$. Đúng. D. Đồ thị hàm số có hai cực trị. Đúng (vì hàm số có điểm cực đại tại $x = 2$ và điểm cực tiểu tại $x = 0$). Vậy đáp án đúng là: A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$. C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$; $(2; 3)$. D. Đồ thị hàm số có hai cực trị. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chỉ có một đáp án duy nhất đúng là: A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$. Câu 69. Để xác định tính chất tăng giảm của hàm số $ y = |x + 1|(x - 2) $, chúng ta sẽ xét các trường hợp dựa vào giá trị của $ x $. Trường hợp 1: $ x \geq -1 $ Trong trường hợp này, $ |x + 1| = x + 1 $. Do đó, hàm số trở thành: $$ y = (x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2 $$ Tính đạo hàm: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - x - 2) = 2x - 1 $$ Xét dấu đạo hàm: - $ y' > 0 $ khi $ 2x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2} $ - $ y' < 0 $ khi $ 2x - 1 < 0 \Rightarrow x < \frac{1}{2} $ Do đó, trên khoảng $ (-1; \frac{1}{2}) $, hàm số nghịch biến. Trường hợp 2: $ x < -1 $ Trong trường hợp này, $ |x + 1| = -(x + 1) = -x - 1 $. Do đó, hàm số trở thành: $$ y = (-x - 1)(x - 2) = -x^2 + x + 2 $$ Tính đạo hàm: $$ y' = \frac{d}{dx}(-x^2 + x + 2) = -2x + 1 $$ Xét dấu đạo hàm: - $ y' > 0 $ khi $ -2x + 1 > 0 \Rightarrow x < \frac{1}{2} $ - $ y' < 0 $ khi $ -2x + 1 < 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2} $ Do đó, trên khoảng $ (-\infty; -1) $, hàm số đồng biến. Kết luận: - Trên khoảng $ (-1; \frac{1}{2}) $, hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $ (-\infty; -1) $, hàm số đồng biến. Vậy đáp án đúng là: A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $ (-1; \frac{1}{2}) $.