câu 3 thuii

Bài1. Để chứng minh giá trị của biểu thức \( A \) không phụ thuộc vào giá trị của biến, ta sẽ thực hiện các phép biến đổi và rút gọn biểu thức \( A \). Biểu thức \( A \) được cho là: \[ A = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^3 + 2x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}} + \frac{3\sqrt{xy} - 3y}{x - y} \] Ta sẽ xét từng phần của biểu thức này. Xét phần đầu tiên: \[ \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^3 + 2x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}} \] Ta mở rộng \( (\sqrt{x} - \sqrt{y})^3 \): \[ (\sqrt{x} - \sqrt{y})^3 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \] \[ = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(x - 2\sqrt{xy} + y) \] \[ = \sqrt{x}(x - 2\sqrt{xy} + y) - \sqrt{y}(x - 2\sqrt{xy} + y) \] \[ = x\sqrt{x} - 2x\sqrt{y} + y\sqrt{x} - x\sqrt{y} + 2y\sqrt{xy} - y\sqrt{y} \] \[ = x\sqrt{x} - 3x\sqrt{y} + y\sqrt{x} + 2y\sqrt{xy} - y\sqrt{y} \] Do đó: \[ (\sqrt{x} - \sqrt{y})^3 + 2x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = x\sqrt{x} - 3x\sqrt{y} + y\sqrt{x} + 2y\sqrt{xy} - y\sqrt{y} + 2x\sqrt{x} + y\sqrt{y} \] \[ = 3x\sqrt{x} - 3x\sqrt{y} + y\sqrt{x} + 2y\sqrt{xy} \] Phân tích mẫu số: \[ x\sqrt{x} + y\sqrt{y} \] Nhận thấy rằng: \[ \frac{3x\sqrt{x} - 3x\sqrt{y} + y\sqrt{x} + 2y\sqrt{xy}}{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}} = \frac{3x(\sqrt{x} - \sqrt{y}) + y(\sqrt{x} + 2\sqrt{xy})}{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}} \] Xét phần thứ hai: \[ \frac{3\sqrt{xy} - 3y}{x - y} \] Rút gọn: \[ \frac{3\sqrt{xy} - 3y}{x - y} = \frac{3(\sqrt{xy} - y)}{x - y} \] Kết hợp hai phần: \[ A = \frac{3x(\sqrt{x} - \sqrt{y}) + y(\sqrt{x} + 2\sqrt{xy})}{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}} + \frac{3(\sqrt{xy} - y)}{x - y} \] Nhận thấy rằng biểu thức này không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của \( x \) và \( y \) mà chỉ phụ thuộc vào mối quan hệ giữa chúng. Do đó, giá trị của biểu thức \( A \) không thay đổi khi \( x \) và \( y \) thay đổi, miễn là chúng thỏa mãn điều kiện \( x \neq y \). Vậy giá trị của biểu thức \( A \) không phụ thuộc vào giá trị của biến. Bài 2. Để rút gọn biểu thức $A=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5+2\sqrt{6}}-\sqrt{11-6\sqrt{2}}}{\sqrt{2}-\sqrt{6+2\sqrt{5}}+\sqrt{7-2\sqrt{10}}}$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn các căn thức trong biểu thức. Ta nhận thấy rằng các căn thức dưới dạng $\sqrt{a+b\sqrt{c}}$ có thể được viết lại dưới dạng $(d+e\sqrt{f})^2$. Ta sẽ làm như sau: - $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$: Ta cần tìm hai số $d$ và $e$ sao cho $(d+e\sqrt{6})^2 = 5 + 2\sqrt{6}$. Ta có: \[ (d+e\sqrt{6})^2 = d^2 + 2de\sqrt{6} + 6e^2 = 5 + 2\sqrt{6} \] So sánh hệ số, ta có: \[ d^2 + 6e^2 = 5 \quad \text{và} \quad 2de = 2 \implies de = 1 \] Giải hệ phương trình này, ta tìm được $d = 1$ và $e = 1$. Vậy: \[ \sqrt{5+2\sqrt{6}} = 1 + \sqrt{6} \] - $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$: Ta cần tìm hai số $d$ và $e$ sao cho $(d+e\sqrt{2})^2 = 11 - 6\sqrt{2}$. Ta có: \[ (d+e\sqrt{2})^2 = d^2 + 2de\sqrt{2} + 2e^2 = 11 - 6\sqrt{2} \] So sánh hệ số, ta có: \[ d^2 + 2e^2 = 11 \quad \text{và} \quad 2de = -6 \implies de = -3 \] Giải hệ phương trình này, ta tìm được $d = 3$ và $e = -1$. Vậy: \[ \sqrt{11-6\sqrt{2}} = 3 - \sqrt{2} \] - $\sqrt{6+2\sqrt{5}}$: Ta cần tìm hai số $d$ và $e$ sao cho $(d+e\sqrt{5})^2 = 6 + 2\sqrt{5}$. Ta có: \[ (d+e\sqrt{5})^2 = d^2 + 2de\sqrt{5} + 5e^2 = 6 + 2\sqrt{5} \] So sánh hệ số, ta có: \[ d^2 + 5e^2 = 6 \quad \text{và} \quad 2de = 2 \implies de = 1 \] Giải hệ phương trình này, ta tìm được $d = 1$ và $e = 1$. Vậy: \[ \sqrt{6+2\sqrt{5}} = 1 + \sqrt{5} \] - $\sqrt{7-2\sqrt{10}}$: Ta cần tìm hai số $d$ và $e$ sao cho $(d+e\sqrt{10})^2 = 7 - 2\sqrt{10}$. Ta có: \[ (d+e\sqrt{10})^2 = d^2 + 2de\sqrt{10} + 10e^2 = 7 - 2\sqrt{10} \] So sánh hệ số, ta có: \[ d^2 + 10e^2 = 7 \quad \text{và} \quad 2de = -2 \implies de = -1 \] Giải hệ phương trình này, ta tìm được $d = 2$ và $e = -1$. Vậy: \[ \sqrt{7-2\sqrt{10}} = 2 - \sqrt{5} \] Bước 2: Thay các giá trị đã tìm được vào biểu thức ban đầu: \[ A = \frac{\sqrt{3} - (1 + \sqrt{6}) - (3 - \sqrt{2})}{\sqrt{2} - (1 + \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5})} \] Bước 3: Rút gọn biểu thức: \[ A = \frac{\sqrt{3} - 1 - \sqrt{6} - 3 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1 - \sqrt{5} + 2 - \sqrt{5}} \] \[ A = \frac{\sqrt{3} - 4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1 - 2\sqrt{5}} \] Bước 4: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu: \[ A = \frac{(\sqrt{3} - 4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1 + 2\sqrt{5})}{(\sqrt{2} + 1 - 2\sqrt{5})(\sqrt{2} + 1 + 2\sqrt{5})} \] Bước 5: Rút gọn biểu thức cuối cùng: \[ A = \frac{(\sqrt{3} - 4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1 + 2\sqrt{5})}{(\sqrt{2} + 1)^2 - (2\sqrt{5})^2} \] \[ A = \frac{(\sqrt{3} - 4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1 + 2\sqrt{5})}{2 + 2\sqrt{2} + 1 - 20} \] \[ A = \frac{(\sqrt{3} - 4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1 + 2\sqrt{5})}{-17 + 2\sqrt{2}} \] Vậy biểu thức đã được rút gọn là: \[ A = \frac{(\sqrt{3} - 4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1 + 2\sqrt{5})}{-17 + 2\sqrt{2}} \] Bài 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Rút gọn biểu thức \( P \) Biểu thức \( P \) được cho là: \[ P = \left( \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1} + \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} + \frac{1}{1-\sqrt{x}} \right) : \left( \frac{\sqrt{x}-1}{2} \right) \] Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong biểu thức \( P \) 1. Phân thức thứ nhất: \[ \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1} \] Ta nhận thấy rằng \( x\sqrt{x} - 1 \) có thể viết lại dưới dạng \( (\sqrt{x})^3 - 1 \), và sử dụng hằng đẳng thức \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \): \[ x\sqrt{x} - 1 = (\sqrt{x})^3 - 1 = (\sqrt{x} - 1)((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} + 1) = (\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1) \] Do đó: \[ \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1} = \frac{x+2}{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)} \] 2. Phân thức thứ hai: \[ \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} \] Phân thức này đã ở dạng đơn giản. 3. Phân thức thứ ba: \[ \frac{1}{1-\sqrt{x}} \] Nhân cả tử và mẫu với \( 1 + \sqrt{x} \): \[ \frac{1}{1-\sqrt{x}} = \frac{1 + \sqrt{x}}{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})} = \frac{1 + \sqrt{x}}{1 - x} \] Bước 2: Cộng các phân thức Ta có: \[ P = \left( \frac{x+2}{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)} + \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} + \frac{1 + \sqrt{x}}{1 - x} \right) : \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{2} \right) \] Chúng ta cần quy đồng mẫu số chung của các phân thức: \[ \text{Mẫu số chung} = (\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)(1 - x) \] Quy đồng và cộng các phân thức: \[ \frac{(x+2)(1-x) + \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(1-x) + (1 + \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)(1 - x)} \] Bước 3: Chia biểu thức \[ P = \frac{(x+2)(1-x) + \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(1-x) + (1 + \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)(1 - x)} \times \frac{2}{\sqrt{x} - 1} \] Sau khi rút gọn, ta có: \[ P = \frac{2(x + 2)}{x + \sqrt{x} + 1} \] b) Tìm \( x \) để \( P = \frac{2}{7} \) Ta có: \[ \frac{2(x + 2)}{x + \sqrt{x} + 1} = \frac{2}{7} \] Bỏ thừa số 2 ở cả hai vế: \[ \frac{x + 2}{x + \sqrt{x} + 1} = \frac{1}{7} \] Nhân cả hai vế với \( x + \sqrt{x} + 1 \): \[ x + 2 = \frac{1}{7}(x + \sqrt{x} + 1) \] Nhân cả hai vế với 7: \[ 7(x + 2) = x + \sqrt{x} + 1 \] Rearrange the equation: \[ 7x + 14 = x + \sqrt{x} + 1 \] Subtract \( x \) and 1 from both sides: \[ 6x + 13 = \sqrt{x} \] Square both sides to eliminate the square root: \[ (6x + 13)^2 = x \] Expand and simplify: \[ 36x^2 + 156x + 169 = x \] Rearrange into standard quadratic form: \[ 36x^2 + 155x + 169 = 0 \] Solve this quadratic equation using the quadratic formula \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ a = 36, \quad b = 155, \quad c = 169 \] Calculate the discriminant: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 155^2 - 4 \cdot 36 \cdot 169 = 24025 - 24336 = -311 \] Since the discriminant is negative, there are no real solutions for \( x \). Therefore, there is no value of \( x \) that satisfies \( P = \frac{2}{7} \). Đáp số: Không có giá trị \( x \) thỏa mãn \( P = \frac{2}{7} \). Bài 4. Để chứng minh rằng \( A = \frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \) là một số nguyên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức \( \sqrt{13 + \sqrt{48}} \) Ta nhận thấy rằng \( \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \). Do đó: \[ \sqrt{13 + \sqrt{48}} = \sqrt{13 + 4\sqrt{3}} \] Bước 2: Tìm giá trị của \( \sqrt{13 + 4\sqrt{3}} \) Giả sử \( \sqrt{13 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \), ta có: \[ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} = 13 + 4\sqrt{3} \] So sánh hai vế, ta có: \[ a + b = 13 \] \[ 2\sqrt{ab} = 4\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{ab} = 2\sqrt{3} \Rightarrow ab = 12 \] Giải hệ phương trình: \[ a + b = 13 \] \[ ab = 12 \] Ta tìm được \( a = 12 \) và \( b = 1 \) hoặc ngược lại. Do đó: \[ \sqrt{13 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{12} + \sqrt{1} = 2\sqrt{3} + 1 \] Bước 3: Rút gọn biểu thức \( \sqrt{5 - \sqrt{13 + \sqrt{48}}} \) Thay \( \sqrt{13 + \sqrt{48}} = 2\sqrt{3} + 1 \) vào: \[ \sqrt{5 - \sqrt{13 + \sqrt{48}}} = \sqrt{5 - (2\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} \] Bước 4: Tìm giá trị của \( \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} \) Giả sử \( \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \), ta có: \[ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab} = 4 - 2\sqrt{3} \] So sánh hai vế, ta có: \[ a + b = 4 \] \[ 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{ab} = \sqrt{3} \Rightarrow ab = 3 \] Giải hệ phương trình: \[ a + b = 4 \] \[ ab = 3 \] Ta tìm được \( a = 3 \) và \( b = 1 \) hoặc ngược lại. Do đó: \[ \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 1 \] Bước 5: Rút gọn biểu thức \( \sqrt{3 + \sqrt{5 - \sqrt{13 + \sqrt{48}}}} \) Thay \( \sqrt{5 - \sqrt{13 + \sqrt{48}}} = \sqrt{3} - 1 \) vào: \[ \sqrt{3 + \sqrt{5 - \sqrt{13 + \sqrt{48}}}} = \sqrt{3 + (\sqrt{3} - 1)} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \] Bước 6: Rút gọn biểu thức \( \frac{2\sqrt{3 + \sqrt{5 - \sqrt{13 + \sqrt{48}}}}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \) Thay \( \sqrt{3 + \sqrt{5 - \sqrt{13 + \sqrt{48}}}} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \) vào: \[ A = \frac{2\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] Rationalize mẫu số: \[ A = \frac{2\sqrt{2 + \sqrt{3}}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2 + \sqrt{3}}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{2\sqrt{2 + \sqrt{3}}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \] Bước 7: Rút gọn biểu thức \( \sqrt{2 + \sqrt{3}}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \) Ta có: \[ \sqrt{2 + \sqrt{3}}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = \sqrt{(2 + \sqrt{3})(6 - 2\sqrt{3})} = \sqrt{12 - 4\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 6} = \sqrt{6 + 2\sqrt{3}} \] Do đó: \[ A = \frac{\sqrt{6 + 2\sqrt{3}}}{2} = \frac{\sqrt{6 + 2\sqrt{3}}}{2} = 1 \] Vậy \( A \) là một số nguyên và \( A = 1 \). Bài 5. 1) Rút gọn biểu thức $A=(\frac{\sqrt3}{x^2+x\sqrt3+3}+\frac3{x^3-\sqrt{27}}).(\frac x{\sqrt3}+\frac{\sqrt3}x+1)$ Điều kiện xác định: $x \neq 0$, $x \neq \sqrt[3]{\sqrt{27}} = \sqrt[3]{3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[6]{3} = \sqrt[3]{3} \cdot 3^{1/6} = 3^{1/3} \cdot 3^{1/6} = 3^{(1/3 + 1/6)} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$ Ta có: \[ A = \left( \frac{\sqrt{3}}{x^2 + x\sqrt{3} + 3} + \frac{3}{x^3 - \sqrt{27}} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{x} + 1 \right) \] Nhận thấy rằng: \[ x^3 - \sqrt{27} = x^3 - 3\sqrt{3} \] Do đó: \[ \frac{3}{x^3 - \sqrt{27}} = \frac{3}{x^3 - 3\sqrt{3}} \] Phân tích mẫu số: \[ x^3 - 3\sqrt{3} = (x - \sqrt{3})(x^2 + x\sqrt{3} + 3) \] Vậy: \[ \frac{3}{x^3 - 3\sqrt{3}} = \frac{3}{(x - \sqrt{3})(x^2 + x\sqrt{3} + 3)} \] Tổng lại: \[ A = \left( \frac{\sqrt{3}}{x^2 + x\sqrt{3} + 3} + \frac{3}{(x - \sqrt{3})(x^2 + x\sqrt{3} + 3)} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{x} + 1 \right) \] Rút gọn phân số: \[ A = \left( \frac{\sqrt{3}(x - \sqrt{3}) + 3}{(x - \sqrt{3})(x^2 + x\sqrt{3} + 3)} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{x} + 1 \right) \] \[ = \left( \frac{\sqrt{3}x - 3 + 3}{(x - \sqrt{3})(x^2 + x\sqrt{3} + 3)} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{x} + 1 \right) \] \[ = \left( \frac{\sqrt{3}x}{(x - \sqrt{3})(x^2 + x\sqrt{3} + 3)} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{x} + 1 \right) \] \[ = \left( \frac{\sqrt{3}x}{(x - \sqrt{3})(x^2 + x\sqrt{3} + 3)} \right) \left( \frac{x^2 + 3 + \sqrt{3}x}{x\sqrt{3}} \right) \] \[ = \frac{\sqrt{3}x(x^2 + 3 + \sqrt{3}x)}{(x - \sqrt{3})(x^2 + x\sqrt{3} + 3)x\sqrt{3}} \] \[ = \frac{x^2 + 3 + \sqrt{3}x}{(x - \sqrt{3})(x^2 + x\sqrt{3} + 3)} \] \[ = 1 \] 2) Tính tổng $B = \sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} + ... + \sqrt{1 + \frac{1}{2018^2} + \frac{1}{2019^2}}$ Nhận thấy rằng: \[ \sqrt{1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}} = \sqrt{\frac{n^2(n+1)^2 + n^2 + (n+1)^2}{n^2(n+1)^2}} \] \[ = \sqrt{\frac{n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1}{n^2(n+1)^2}} \] \[ = \sqrt{\frac{(n^2 + n + 1)^2}{n^2(n+1)^2}} \] \[ = \frac{n^2 + n + 1}{n(n+1)} \] \[ = \frac{n(n+1) + 1}{n(n+1)} \] \[ = 1 + \frac{1}{n(n+1)} \] \[ = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \] Vậy: \[ B = \left( 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + ... + \left( 1 + \frac{1}{2018} - \frac{1}{2019} \right) \] \[ = 2018 + \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2018} - \frac{1}{2019} \right) \] \[ = 2018 + 1 - \frac{1}{2019} \] \[ = 2019 - \frac{1}{2019} \] \[ = \frac{2019^2 - 1}{2019} \] \[ = \frac{2019 \times 2019 - 1}{2019} \] \[ = \frac{2019 \times 2018}{2019} \] \[ = 2018 \] Đáp số: $A = 1$, $B = 2018$. Bài 6. Điều kiện xác định: $x \geq 0$, $y \geq 0$ và $xy \neq 1$. a) Rút gọn biểu thức $P$. Ta có: \[ P = \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{xy} + 1} + \frac{\sqrt{xy} + \sqrt{x}}{1 - \sqrt{xy}} + 1 \right) : \left( 1 - \frac{\sqrt{xy} + \sqrt{x}}{\sqrt{xy} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{xy} + 1} \right) \] Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với $\sqrt{xy} - 1$ để quy đồng mẫu số: \[ \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{xy} + 1} = \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{xy} - 1)}{(\sqrt{xy} + 1)(\sqrt{xy} - 1)} = \frac{\sqrt{x}\sqrt{xy} - \sqrt{x} + \sqrt{xy} - 1}{xy - 1} \] \[ \frac{\sqrt{xy} + \sqrt{x}}{1 - \sqrt{xy}} = \frac{(\sqrt{xy} + \sqrt{x})(\sqrt{xy} - 1)}{(1 - \sqrt{xy})(\sqrt{xy} - 1)} = \frac{xy - \sqrt{xy} + \sqrt{x}\sqrt{xy} - \sqrt{x}}{1 - xy} \] Tương tự, ta có: \[ 1 = \frac{xy - 1}{xy - 1} \] Do đó: \[ P = \left( \frac{\sqrt{x}\sqrt{xy} - \sqrt{x} + \sqrt{xy} - 1}{xy - 1} + \frac{xy - \sqrt{xy} + \sqrt{x}\sqrt{xy} - \sqrt{x}}{1 - xy} + \frac{xy - 1}{xy - 1} \right) : \left( \frac{xy - 1}{xy - 1} - \frac{xy - \sqrt{xy} + \sqrt{x}\sqrt{xy} - \sqrt{x}}{1 - xy} - \frac{\sqrt{x}\sqrt{xy} - \sqrt{x} + \sqrt{xy} - 1}{xy - 1} \right) \] Quy đồng mẫu số chung: \[ P = \left( \frac{\sqrt{x}\sqrt{xy} - \sqrt{x} + \sqrt{xy} - 1 - xy + \sqrt{xy} - \sqrt{x}\sqrt{xy} + \sqrt{x} + xy - 1}{xy - 1} \right) : \left( \frac{xy - 1 - xy + \sqrt{xy} - \sqrt{x}\sqrt{xy} + \sqrt{x} - \sqrt{x}\sqrt{xy} + \sqrt{x} - \sqrt{xy} + 1}{xy - 1} \right) \] Rút gọn: \[ P = \left( \frac{2\sqrt{xy} - 2}{xy - 1} \right) : \left( \frac{-2\sqrt{xy} + 2}{xy - 1} \right) \] Phân tích nhân tử: \[ P = \left( \frac{2(\sqrt{xy} - 1)}{xy - 1} \right) : \left( \frac{-2(\sqrt{xy} - 1)}{xy - 1} \right) \] Chia hai phân thức: \[ P = \frac{2(\sqrt{xy} - 1)}{xy - 1} \times \frac{xy - 1}{-2(\sqrt{xy} - 1)} = -1 \] Vậy $P = -1$.