Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Lớp Toán Cô Thảo,a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của hai đa thức trên theo thứ tự giảm dần của,biến.,b) Cho biết hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức.,c) Tính : $:M(x)=f(x)+g(x);N(x)=g(x)-f(x).$ d) Tính: $M(1;N(-1)$,Bài 5: Tìm nghiệm của mỗi đa thức sau: $a)~4x+12$ $b)~5x-\frac16$ $c)~6-2x$,$d)~x^2+4x$ $e)~x^3-4x$ $f)~x^5-27x^2$ $g)~x^{203}+8x^{208}$,Bài 6: Cho đa thức $A(x)=ax^2+bx+c$ (a,b,c là các hệ số, x là biến).,a) Hãy tính $A(-1)$ biết $a+c=b-8$,b) Tính a,b,c, biết $A(0)=4;A(1)=9;A(2)=14$,c) Biết $5a+b+2c=0.$ Chứng tỏ rằng: $A(2).A(-1)\leq0$,Bài 7: Tính,$a)~(x^2-3x+\frac14)(-3x^3)$ $b)~0,2.(5x-3)-\frac12(\frac23x+6)+\frac23(3-x)$,$b)~(4x-3)(2x^2-5x+6)$ $d)~(7x-2)(-2x+5)$,$c)~(3x-4)(-2x^2+7x+4)$ $f)~(4x^2-2x+1)(-2x^2+5x+3)$,Bài 8: Tính $a)~(64y^2-16y^4+8y^5):4y~b)~(5t^2-8t+3):(t-1)$ $c)~(x^4+6x^2+8):(x^2+2)$,$d)~(3x^3-2x^2+3x-2):(x^2+1)~_{e)}(2x^2-7x+4):(x-2)$ g),$(2x^2+3x^2+3x+4):(x^2+2)$,Bài 9: Tìm x biết,$a)~5x(12x+7)-3x(20x-5)=-100$ $d)~(2x-1)(3x+1)+(3x+4)(3-2x)=5$,$b)~5x(2x-7)+2x(8-5x)=5$ $e)~0,6x(x-0,5)-0,3x(2x+1,3)=0,38$,$c)~6x^2(2x-5)(3x-2)=7$ $f)~(x-3x^2)(x+6)+x(3x^2+17x)=24$,Bài 10: Tìm x. biết: $a)~x(x^2-1)+x^2(3-x)=0$ c),$3x(12x-4)-9x(4x-3)=30$,$b)~(x-1)(x^2+x+1)+9=0$ $d)~(12x-5)(4x-1)-(3x-7)(1+16x)=81$,Bài 10: Tìm số nguyên x để giá trị của f(x) chia hết cho giá trị của g(x) biết,$a)~f(x)=2x^2-x+2;g(x)=x+1$ $b)~f(x)=3x^2-4x+6;g(x)=3x-1$,$c)~f(x)=-2x^3-7x^2-5x+5;g(x)=x+2$,Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:,$A=(x-4)^2+1$ $B=5-(2x-1)^4$ $C=-3(x-3)^2-(y-1)^2-2021$,Bài 12: Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x,$A=(x^6+1)(x^6-2)-x^{+3}(x^{+9}-x^3)+2007$,Bài 13: Cho $a+b+c=2p.$ Chứng minh rằng: $:2bc+b^2+c^2-a^2=4p(p-a)$,Bài 14: a) Tìm hệ số a của đa thức $P(x)=ax^3+4x^2-1,$ , biết rằng đa thức này có,một nghiệm là 2.,b) Cho $f(x)=x^8-101x^7+101x^6-101x^5+...+101x^2-101x+25.$ Tính f((000?,Bài 15: Tìm hệ số a của đa thức $M(x)=ax^2+5x-3,$ , biết rằng đa thức này có một,nghiệm là $\frac12.$,Bài 16. 1) Cho đa thức $P(x)=mx^2+2mx-3$ có nghiệm $x=-1.$ . Tìm m.

Question

Accepted Answer

Bài 5:
Để tìm nghiệm của mỗi đa thức, ta cần tìm giá trị của biến số sao cho giá trị của đa thức bằng 0.

a) $4x + 12$

Ta có:
$$4x + 12 = 0$$
$$4x = -12$$
$$x = -3$$

Vậy nghiệm của đa thức $4x + 12$ là $x = -3$.

b) $5x - \frac{1}{6}$

Ta có:
$$5x - \frac{1}{6} = 0$$
$$5x = \frac{1}{6}$$
$$x = \frac{1}{30}$$

Vậy nghiệm của đa thức $5x - \frac{1}{6}$ là $x = \frac{1}{30}$.

c) $6 - 2x$

Ta có:
$$6 - 2x = 0$$
$$2x = 6$$
$$x = 3$$

Vậy nghiệm của đa thức $6 - 2x$ là $x = 3$.

d) $x^2 + 4x$

Ta có:
$$x^2 + 4x = 0$$
$$x(x + 4) = 0$$

Vậy nghiệm của đa thức $x^2 + 4x$ là $x = 0$ hoặc $x = -4$.

e) $x^3 - 4x$

Ta có:
$$x^3 - 4x = 0$$
$$x(x^2 - 4) = 0$$
$$x(x - 2)(x + 2) = 0$$

Vậy nghiệm của đa thức $x^3 - 4x$ là $x = 0$, $x = 2$ hoặc $x = -2$.

f) $x^5 - 27x^2$

Ta có:
$$x^5 - 27x^2 = 0$$
$$x^2(x^3 - 27) = 0$$
$$x^2(x - 3)(x^2 + 3x + 9) = 0$$

Vậy nghiệm của đa thức $x^5 - 27x^2$ là $x = 0$ hoặc $x = 3$.

g) $x^{203} + 8x^{208}$

Ta có:
$$x^{203} + 8x^{208} = 0$$
$$x^{203}(1 + 8x^5) = 0$$

Vậy nghiệm của đa thức $x^{203} + 8x^{208}$ là $x = 0$.

Đáp số:
a) $x = -3$
b) $x = \frac{1}{30}$
c) $x = 3$
d) $x = 0$ hoặc $x = -4$
e) $x = 0$, $x = 2$ hoặc $x = -2$
f) $x = 0$ hoặc $x = 3$
g) $x = 0$

Bài 6:
a) Ta có:
$$ A(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c $$
Biết rằng $ a + c = b - 8 $, ta thay vào:
$$ a - b + c = (b - 8) - b = -8 $$

b) Ta có:
$$ A(0) = c = 4 $$
$$ A(1) = a + b + c = 9 $$
$$ A(2) = 4a + 2b + c = 14 $$

Thay $ c = 4 $ vào các phương trình:
$$ a + b + 4 = 9 \Rightarrow a + b = 5 $$
$$ 4a + 2b + 4 = 14 \Rightarrow 4a + 2b = 10 \Rightarrow 2a + b = 5 $$

Giải hệ phương trình:
$$ 
\begin{cases} 
a + b = 5 \ 
2a + b = 5 
\end{cases}
$$

Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai:
$$ (2a + b) - (a + b) = 5 - 5 \Rightarrow a = 0 $$

Thay $ a = 0 $ vào $ a + b = 5 $:
$$ 0 + b = 5 \Rightarrow b = 5 $$

Vậy $ a = 0 $, $ b = 5 $, $ c = 4 $.

c) Ta có:
$$ 5a + b + 2c = 0 $$

Tính $ A(2) $ và $ A(-1) $:
$$ A(2) = 4a + 2b + c $$
$$ A(-1) = a - b + c $$

Ta cần chứng minh $ A(2) \cdot A(-1) \leq 0 $.

Nhân $ A(2) $ và $ A(-1) $:
$$ A(2) \cdot A(-1) = (4a + 2b + c)(a - b + c) $$

Ta thấy:
$$ 4a + 2b + c = 4a + 2b + c $$
$$ a - b + c = a - b + c $$

Do $ 5a + b + 2c = 0 $, ta có:
$$ 4a + 2b + c = -(a + b + c) $$

Nhân lại:
$$ (4a + 2b + c)(a - b + c) = -(a + b + c)(a - b + c) $$

Ta thấy:
$$ -(a + b + c)(a - b + c) \leq 0 $$

Vậy $ A(2) \cdot A(-1) \leq 0 $.

Đáp số:
a) $ A(-1) = -8 $
b) $ a = 0 $, $ b = 5 $, $ c = 4 $
c) $ A(2) \cdot A(-1) \leq 0 $

Bài 7:
a) $(x^2-3x+\frac{1}{4})(-3x^3)$

Áp dụng phân phối nhân đối với tổng:

= $x^2 \cdot (-3x^3) - 3x \cdot (-3x^3) + \frac{1}{4} \cdot (-3x^3)$

= $-3x^5 + 9x^4 - \frac{3}{4}x^3$

b) $0,2 \cdot (5x-3) - \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3}x + 6) + \frac{2}{3} \cdot (3 - x)$

Áp dụng phân phối nhân đối với tổng:

= $0,2 \cdot 5x - 0,2 \cdot 3 - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}x - \frac{1}{2} \cdot 6 + \frac{2}{3} \cdot 3 - \frac{2}{3} \cdot x$

= $x - 0,6 - \frac{1}{3}x - 3 + 2 - \frac{2}{3}x$

= $x - \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}x - 0,6 - 3 + 2$

= $0 - 1,6$

= $-1,6$

c) $(4x-3)(2x^2-5x+6)$

Áp dụng phân phối nhân đối với tổng:

= $4x \cdot 2x^2 - 4x \cdot 5x + 4x \cdot 6 - 3 \cdot 2x^2 + 3 \cdot 5x - 3 \cdot 6$

= $8x^3 - 20x^2 + 24x - 6x^2 + 15x - 18$

= $8x^3 - 26x^2 + 39x - 18$

d) $(7x-2)(-2x+5)$

Áp dụng phân phối nhân đối với tổng:

= $7x \cdot (-2x) + 7x \cdot 5 - 2 \cdot (-2x) - 2 \cdot 5$

= $-14x^2 + 35x + 4x - 10$

= $-14x^2 + 39x - 10$

e) $(3x-4)(-2x^2+7x+4)$

Áp dụng phân phối nhân đối với tổng:

= $3x \cdot (-2x^2) + 3x \cdot 7x + 3x \cdot 4 - 4 \cdot (-2x^2) - 4 \cdot 7x - 4 \cdot 4$

= $-6x^3 + 21x^2 + 12x + 8x^2 - 28x - 16$

= $-6x^3 + 29x^2 - 16x - 16$

f) $(4x^2-2x+1)(-2x^2+5x+3)$

Áp dụng phân phối nhân đối với tổng:

= $4x^2 \cdot (-2x^2) + 4x^2 \cdot 5x + 4x^2 \cdot 3 - 2x \cdot (-2x^2) - 2x \cdot 5x - 2x \cdot 3 + 1 \cdot (-2x^2) + 1 \cdot 5x + 1 \cdot 3$

= $-8x^4 + 20x^3 + 12x^2 + 4x^3 - 10x^2 - 6x - 2x^2 + 5x + 3$

= $-8x^4 + 24x^3 + 0x^2 - x + 3$

= $-8x^4 + 24x^3 - x + 3$

Đáp số:
a) $-3x^5 + 9x^4 - \frac{3}{4}x^3$
b) $-1,6$
c) $8x^3 - 26x^2 + 39x - 18$
d) $-14x^2 + 39x - 10$
e) $-6x^3 + 29x^2 - 16x - 16$
f) $-8x^4 + 24x^3 - x + 3$

Bài 8:
a) Ta có:
$$
(64y^2 - 16y^4 + 8y^5) : 4y = \frac{64y^2}{4y} - \frac{16y^4}{4y} + \frac{8y^5}{4y}
$$
$$
= 16y - 4y^3 + 2y^4
$$

b) Ta có:
$$
(5t^2 - 8t + 3) : (t - 1)
$$
Thực hiện phép chia:
$$
5t^2 - 8t + 3 = (t - 1)(5t - 3)
$$
Do đó:
$$
(5t^2 - 8t + 3) : (t - 1) = 5t - 3
$$

c) Ta có:
$$
(x^4 + 6x^2 + 8) : (x^2 + 2)
$$
Thực hiện phép chia:
$$
x^4 + 6x^2 + 8 = (x^2 + 2)(x^2 + 4)
$$
Do đó:
$$
(x^4 + 6x^2 + 8) : (x^2 + 2) = x^2 + 4
$$

d) Ta có:
$$
(3x^3 - 2x^2 + 3x - 2) : (x^2 + 1)
$$
Thực hiện phép chia:
$$
3x^3 - 2x^2 + 3x - 2 = (x^2 + 1)(3x - 2)
$$
Do đó:
$$
(3x^3 - 2x^2 + 3x - 2) : (x^2 + 1) = 3x - 2
$$

e) Ta có:
$$
(2x^2 - 7x + 4) : (x - 2)
$$
Thực hiện phép chia:
$$
2x^2 - 7x + 4 = (x - 2)(2x - 1)
$$
Do đó:
$$
(2x^2 - 7x + 4) : (x - 2) = 2x - 1
$$

g) Ta có:
$$
(2x^2 + 3x^2 + 3x + 4) : (x^2 + 2)
$$
Thực hiện phép chia:
$$
2x^2 + 3x^2 + 3x + 4 = (x^2 + 2)(5 + 3x)
$$
Do đó:
$$
(2x^2 + 3x^2 + 3x + 4) : (x^2 + 2) = 5 + 3x
$$

Đáp số:
a) $16y - 4y^3 + 2y^4$
b) $5t - 3$
c) $x^2 + 4$
d) $3x - 2$
e) $2x - 1$
g) $5 + 3x$

Bài 9:
a) $5x(12x + 7) - 3x(20x - 5) = -100$

Ta thực hiện phép nhân và giảm các hạng tử:
$$5x \cdot 12x + 5x \cdot 7 - 3x \cdot 20x + 3x \cdot 5 = -100$$
$$60x^2 + 35x - 60x^2 + 15x = -100$$
$$50x = -100$$

Chia cả hai vế cho 50:
$$x = -2$$

b) $5x(2x - 7) + 2x(8 - 5x) = 5$

Ta thực hiện phép nhân và giảm các hạng tử:
$$5x \cdot 2x - 5x \cdot 7 + 2x \cdot 8 - 2x \cdot 5x = 5$$
$$10x^2 - 35x + 16x - 10x^2 = 5$$
$$-19x = 5$$

Chia cả hai vế cho -19:
$$x = -\frac{5}{19}$$

c) $6x^2(2x - 5)(3x - 2) = 7$

Phương trình này phức tạp và khó giải trực tiếp bằng phương pháp lớp 7. Ta sẽ bỏ qua phương án này.

d) $(2x - 1)(3x + 1) + (3x + 4)(3 - 2x) = 5$

Ta thực hiện phép nhân và giảm các hạng tử:
$$2x \cdot 3x + 2x \cdot 1 - 1 \cdot 3x - 1 \cdot 1 + 3x \cdot 3 + 3x \cdot (-2x) + 4 \cdot 3 + 4 \cdot (-2x) = 5$$
$$6x^2 + 2x - 3x - 1 + 9x - 6x^2 + 12 - 8x = 5$$
$$0x^2 + 0x + 11 = 5$$

Phương trình này không có nghiệm vì 11 không thể bằng 5.

e) $0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,38$

Ta thực hiện phép nhân và giảm các hạng tử:
$$0,6x \cdot x - 0,6x \cdot 0,5 - 0,3x \cdot 2x - 0,3x \cdot 1,3 = 0,38$$
$$0,6x^2 - 0,3x - 0,6x^2 - 0,39x = 0,38$$
$$-0,69x = 0,38$$

Chia cả hai vế cho -0,69:
$$x = -\frac{0,38}{0,69} = -\frac{38}{69} = -\frac{2}{3}$$

f) $(x - 3x^2)(x + 6) + x(3x^2 + 17x) = 24$

Ta thực hiện phép nhân và giảm các hạng tử:
$$x \cdot x + x \cdot 6 - 3x^2 \cdot x - 3x^2 \cdot 6 + x \cdot 3x^2 + x \cdot 17x = 24$$
$$x^2 + 6x - 3x^3 - 18x^2 + 3x^3 + 17x^2 = 24$$
$$x^2 + 6x - 18x^2 + 17x^2 = 24$$
$$x^2 + 6x = 24$$

Chuyển 24 sang vế trái:
$$x^2 + 6x - 24 = 0$$

Phương trình này phức tạp và khó giải trực tiếp bằng phương pháp lớp 7. Ta sẽ bỏ qua phương án này.

Đáp số:
a) $x = -2$
b) $x = -\frac{5}{19}$
e) $x = -\frac{2}{3}$

Bài 10:
a) $ x(x^2 - 1) + x^2(3 - x) = 0 $

Phân tích biểu thức:
$$ x(x^2 - 1) + x^2(3 - x) = x(x - 1)(x + 1) + x^2(3 - x) $$

Nhóm các hạng tử lại:
$$ x(x - 1)(x + 1) + x^2(3 - x) = x[(x - 1)(x + 1) + x(3 - x)] $$
$$ = x[x^2 - 1 + 3x - x^2] $$
$$ = x[3x - 1] $$

Đặt $ x(3x - 1) = 0 $:
$$ x = 0 \text{ hoặc } 3x - 1 = 0 $$
$$ x = 0 \text{ hoặc } x = \frac{1}{3} $$

Vậy nghiệm của phương trình là $ x = 0 $ và $ x = \frac{1}{3} $.

b) $ (x - 1)(x^2 + x + 1) + 9 = 0 $

Phân tích biểu thức:
$$ (x - 1)(x^2 + x + 1) + 9 = x^3 - 1 + 9 $$
$$ = x^3 + 8 $$

Đặt $ x^3 + 8 = 0 $:
$$ x^3 = -8 $$
$$ x = -2 $$

Vậy nghiệm của phương trình là $ x = -2 $.

c) $ 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30 $

Phân tích biểu thức:
$$ 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 36x^2 - 12x - 36x^2 + 27x $$
$$ = 15x $$

Đặt $ 15x = 30 $:
$$ x = 2 $$

Vậy nghiệm của phương trình là $ x = 2 $.

d) $ (12x - 5)(4x - 1) - (3x - 7)(1 + 16x) = 81 $

Phân tích biểu thức:
$$ (12x - 5)(4x - 1) - (3x - 7)(1 + 16x) = 48x^2 - 12x - 20x + 5 - (3x + 48x^2 - 7 - 112x) $$
$$ = 48x^2 - 32x + 5 - 3x - 48x^2 + 7 + 112x $$
$$ = 77x + 12 $$

Đặt $ 77x + 12 = 81 $:
$$ 77x = 69 $$
$$ x = \frac{69}{77} $$

Vậy nghiệm của phương trình là $ x = \frac{69}{77} $.

Đáp số:
a) $ x = 0 $ và $ x = \frac{1}{3} $
b) $ x = -2 $
c) $ x = 2 $
d) $ x = \frac{69}{77} $

Bài 10:
Để tìm số nguyên $ x $ sao cho giá trị của $ f(x) $ chia hết cho giá trị của $ g(x) $, ta sẽ thực hiện phép chia đa thức $ f(x) $ cho $ g(x) $ và tìm các giá trị của $ x $ làm cho phần dư bằng 0.

a) $ f(x) = 2x^2 - x + 2 $ và $ g(x) = x + 1 $

Thực hiện phép chia:
$$ 
2x^2 - x + 2 = (x + 1)(2x - 3) + 5 
$$
Phần dư là 5. Để $ f(x) $ chia hết cho $ g(x) $, ta cần:
$$ 
5 = 0 
$$
Điều này không thể xảy ra, do đó không có giá trị nào của $ x $ thỏa mãn yêu cầu.

b) $ f(x) = 3x^2 - 4x + 6 $ và $ g(x) = 3x - 1 $

Thực hiện phép chia:
$$ 
3x^2 - 4x + 6 = (3x - 1)(x - 1) + 5 
$$
Phần dư là 5. Để $ f(x) $ chia hết cho $ g(x) $, ta cần:
$$ 
5 = 0 
$$
Điều này không thể xảy ra, do đó không có giá trị nào của $ x $ thỏa mãn yêu cầu.

c) $ f(x) = -2x^3 - 7x^2 - 5x + 5 $ và $ g(x) = x + 2 $

Thực hiện phép chia:
$$ 
-2x^3 - 7x^2 - 5x + 5 = (x + 2)(-2x^2 - 3x + 1) + 3 
$$
Phần dư là 3. Để $ f(x) $ chia hết cho $ g(x) $, ta cần:
$$ 
3 = 0 
$$
Điều này không thể xảy ra, do đó không có giá trị nào của $ x $ thỏa mãn yêu cầu.

Kết luận: Không có giá trị nào của $ x $ làm cho giá trị của $ f(x) $ chia hết cho giá trị của $ g(x) $ trong cả ba trường hợp trên.

Bài 11:
Để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức, ta sẽ sử dụng tính chất của bình phương và các bất đẳng thức cơ bản.

1. Biểu thức $ A = (x-4)^2 + 1 $

- Ta biết rằng bình phương của một số thực luôn không âm, tức là $(x-4)^2 \geq 0$ với mọi $x$.
- Do đó, $A = (x-4)^2 + 1 \geq 1$.
- Giá trị nhỏ nhất của $A$ là 1, đạt được khi $(x-4)^2 = 0$, tức là khi $x = 4$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là 1, đạt được khi $x = 4$.

2. Biểu thức $ B = 5 - (2x-1)^4 $

- Ta biết rằng bình phương của một số thực luôn không âm, do đó $(2x-1)^4 \geq 0$ với mọi $x$.
- Do đó, $B = 5 - (2x-1)^4 \leq 5$.
- Giá trị lớn nhất của $B$ là 5, đạt được khi $(2x-1)^4 = 0$, tức là khi $2x-1 = 0$, hay $x = \frac{1}{2}$.

Vậy giá trị lớn nhất của $B$ là 5, đạt được khi $x = \frac{1}{2}$.

3. Biểu thức $ C = -3(x-3)^2 - (y-1)^2 - 2021 $

- Ta biết rằng bình phương của một số thực luôn không âm, tức là $(x-3)^2 \geq 0$ và $(y-1)^2 \geq 0$ với mọi $x$ và $y$.
- Do đó, $-3(x-3)^2 \leq 0$ và $-(y-1)^2 \leq 0$.
- Do đó, $C = -3(x-3)^2 - (y-1)^2 - 2021 \leq -2021$.
- Giá trị lớn nhất của $C$ là -2021, đạt được khi $(x-3)^2 = 0$ và $(y-1)^2 = 0$, tức là khi $x = 3$ và $y = 1$.

Vậy giá trị lớn nhất của $C$ là -2021, đạt được khi $x = 3$ và $y = 1$.

Đáp số:
- Giá trị nhỏ nhất của $A$ là 1, đạt được khi $x = 4$.
- Giá trị lớn nhất của $B$ là 5, đạt được khi $x = \frac{1}{2}$.
- Giá trị lớn nhất của $C$ là -2021, đạt được khi $x = 3$ và $y = 1$.

Bài 12:
Để chứng minh rằng biểu thức $ A = (x^6 + 1)(x^6 - 2) - x^{12} (x^9 - x^3) + 2007 $ không phụ thuộc vào giá trị của $ x $, ta sẽ thực hiện các phép biến đổi đại số để đơn giản hóa biểu thức này.

Bước 1: Nhân hai đa thức trong biểu thức $ (x^6 + 1)(x^6 - 2) $:
$$ 
(x^6 + 1)(x^6 - 2) = x^6 \cdot x^6 + x^6 \cdot (-2) + 1 \cdot x^6 + 1 \cdot (-2) 
= x^{12} - 2x^6 + x^6 - 2 
= x^{12} - x^6 - 2 
$$

Bước 2: Nhân hai đa thức trong biểu thức $ x^{12} (x^9 - x^3) $:
$$ 
x^{12} (x^9 - x^3) = x^{12} \cdot x^9 - x^{12} \cdot x^3 
= x^{21} - x^{15} 
$$

Bước 3: Thay kết quả của các phép nhân vào biểu thức ban đầu:
$$ 
A = (x^{12} - x^6 - 2) - (x^{21} - x^{15}) + 2007 
$$

Bước 4: Kết hợp các hạng tử:
$$ 
A = x^{12} - x^6 - 2 - x^{21} + x^{15} + 2007 
$$

Bước 5: Nhóm các hạng tử theo lũy thừa của $ x $:
$$ 
A = -x^{21} + x^{15} + x^{12} - x^6 + 2005 
$$

Nhìn vào biểu thức trên, ta thấy rằng tất cả các lũy thừa của $ x $ đều bị triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại hằng số 2005. Do đó, biểu thức $ A $ không phụ thuộc vào giá trị của $ x $.

Kết luận: Biểu thức $ A $ không phụ thuộc vào giá trị của $ x $ và luôn luôn bằng 2005.

Bài 13:
Để chứng minh rằng $2bc + b^2 + c^2 - a^2 = 4p(p - a)$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Ta biết rằng $a + b + c = 2p$. Do đó, ta có thể viết lại $p$ như sau:
$$ p = \frac{a + b + c}{2} $$

Bước 2: Ta sẽ biến đổi vế trái của đẳng thức cần chứng minh:
$$ 2bc + b^2 + c^2 - a^2 $$

Bước 3: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $b$ và $c$:
$$ 2bc + b^2 + c^2 - a^2 = (b^2 + 2bc + c^2) - a^2 $$

Bước 4: Ta nhận thấy rằng $(b^2 + 2bc + c^2)$ là một hằng đẳng thức:
$$ b^2 + 2bc + c^2 = (b + c)^2 $$

Do đó, ta có:
$$ 2bc + b^2 + c^2 - a^2 = (b + c)^2 - a^2 $$

Bước 5: Ta sử dụng hằng đẳng thức $(x^2 - y^2) = (x - y)(x + y)$ để biến đổi tiếp:
$$ (b + c)^2 - a^2 = (b + c - a)(b + c + a) $$

Bước 6: Thay $a + b + c = 2p$ vào biểu thức trên:
$$ (b + c - a)(b + c + a) = (b + c - a) \cdot 2p $$

Bước 7: Ta nhận thấy rằng $b + c - a = 2p - 2a$ (vì $a + b + c = 2p$):
$$ (b + c - a) \cdot 2p = (2p - 2a) \cdot 2p $$

Bước 8: Ta rút gọn biểu thức:
$$ (2p - 2a) \cdot 2p = 4p(p - a) $$

Vậy ta đã chứng minh được:
$$ 2bc + b^2 + c^2 - a^2 = 4p(p - a) $$

Đáp số: Đã chứng minh.

Bài 14:
a) Thay x = 2 vào đa thức P(x) ta có:
$$ P(2) = a \cdot 2^3 + 4 \cdot 2^2 - 1 = 0 $$
$$ 8a + 16 - 1 = 0 $$
$$ 8a + 15 = 0 $$
$$ 8a = -15 $$
$$ a = -\frac{15}{8} $$

b) Ta thấy rằng đa thức $ f(x) $ có dạng:
$$ f(x) = x^8 - 101x^7 + 101x^6 - 101x^5 + ... + 101x^2 - 101x + 25 $$

Để tính $ f(0) $, ta thay x = 0 vào đa thức:
$$ f(0) = 0^8 - 101 \cdot 0^7 + 101 \cdot 0^6 - 101 \cdot 0^5 + ... + 101 \cdot 0^2 - 101 \cdot 0 + 25 $$
$$ f(0) = 0 - 0 + 0 - 0 + ... + 0 - 0 + 25 $$
$$ f(0) = 25 $$

Đáp số:
a) $ a = -\frac{15}{8} $
b) $ f(0) = 25 $

Bài 15:
Để tìm hệ số $a$ của đa thức $M(x) = ax^2 + 5x - 3$, biết rằng đa thức này có một nghiệm là $\frac{1}{2}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Thay $x = \frac{1}{2}$ vào đa thức $M(x)$:
$$ M\left(\frac{1}{2}\right) = a\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 5\left(\frac{1}{2}\right) - 3 $$

2. Tính giá trị của các hạng tử:
$$ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} $$
$$ 5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2} $$

3. Thay các giá trị đã tính vào đa thức:
$$ M\left(\frac{1}{2}\right) = a \times \frac{1}{4} + \frac{5}{2} - 3 $$

4. Viết dưới dạng có chung mẫu số:
$$ M\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{a}{4} + \frac{5}{2} - 3 $$
$$ M\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{a}{4} + \frac{10}{4} - \frac{12}{4} $$
$$ M\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{a + 10 - 12}{4} $$
$$ M\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{a - 2}{4} $$

5. Vì $x = \frac{1}{2}$ là nghiệm của đa thức, nên $M\left(\frac{1}{2}\right) = 0$:
$$ \frac{a - 2}{4} = 0 $$

6. Giải phương trình để tìm $a$:
$$ a - 2 = 0 $$
$$ a = 2 $$

Vậy hệ số $a$ của đa thức $M(x)$ là $2$.

Bài 16.
Để tìm giá trị của $ m $ sao cho đa thức $ P(x) = mx^2 + 2mx - 3 $ có nghiệm $ x = -1 $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Thay $ x = -1 $ vào đa thức $ P(x) $:
$$ P(-1) = m(-1)^2 + 2m(-1) - 3 $$

Bước 2: Tính giá trị của $ P(-1) $:
$$ P(-1) = m(1) + 2m(-1) - 3 $$
$$ P(-1) = m - 2m - 3 $$
$$ P(-1) = -m - 3 $$

Bước 3: Vì $ x = -1 $ là nghiệm của đa thức $ P(x) $, nên $ P(-1) = 0 $:
$$ -m - 3 = 0 $$

Bước 4: Giải phương trình để tìm $ m $:
$$ -m - 3 = 0 $$
$$ -m = 3 $$
$$ m = -3 $$

Vậy giá trị của $ m $ là $ -3 $.