Cho các số a, b thoả mãn : $4a^2+b^2=5ab$ và $2a>2b>0$. Tính $A=\frac{ab}{4a^2-b^2}$

Từ giả thiết ta có: \[4a^2 + b^2 = 5ab\] Ta sẽ biến đổi để tìm mối quan hệ giữa \(a\) và \(b\): \[4a^2 + b^2 = 5ab\] \[4a^2 - 5ab + b^2 = 0\] Ta có thể viết lại phương trình trên dưới dạng một phương trình bậc hai theo \(a\): \[4a^2 - 5ab + b^2 = 0\] Phương trình này có thể được giải bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[a = \frac{-(-5b) \pm \sqrt{(-5b)^2 - 4 \cdot 4 \cdot b^2}}{2 \cdot 4}\] \[a = \frac{5b \pm \sqrt{25b^2 - 16b^2}}{8}\] \[a = \frac{5b \pm \sqrt{9b^2}}{8}\] \[a = \frac{5b \pm 3b}{8}\] Do đó, ta có hai trường hợp: \[a = \frac{5b + 3b}{8} = \frac{8b}{8} = b\] \[a = \frac{5b - 3b}{8} = \frac{2b}{8} = \frac{b}{4}\] Vì \(2a > 2b > 0\), nên \(a > b\). Do đó, trường hợp \(a = b\) không thỏa mãn. Vậy ta chọn: \[a = \frac{b}{4}\] Bây giờ, ta thay \(a = \frac{b}{4}\) vào biểu thức \(A\): \[A = \frac{ab}{4a^2 - b^2}\] \[A = \frac{\left(\frac{b}{4}\right) \cdot b}{4 \left(\frac{b}{4}\right)^2 - b^2}\] \[A = \frac{\frac{b^2}{4}}{4 \cdot \frac{b^2}{16} - b^2}\] \[A = \frac{\frac{b^2}{4}}{\frac{4b^2}{16} - b^2}\] \[A = \frac{\frac{b^2}{4}}{\frac{b^2}{4} - b^2}\] \[A = \frac{\frac{b^2}{4}}{\frac{b^2 - 4b^2}{4}}\] \[A = \frac{\frac{b^2}{4}}{\frac{-3b^2}{4}}\] \[A = \frac{b^2}{-3b^2}\] \[A = -\frac{1}{3}\] Vậy giá trị của \(A\) là: \[A = -\frac{1}{3}\]