Chứng minh phân thức 3 n + 2 /4 n + 3 là tối giản với mọi số tự nhiên n

Để chứng minh phân thức $\frac{3n + 2}{4n + 3}$ là tối giản với mọi số tự nhiên n, ta sẽ chứng minh rằng tử số và mẫu số của phân thức này không có ước chung nào khác 1. Giả sử phân thức $\frac{3n + 2}{4n + 3}$ không tối giản, tức là tử số và mẫu số có ước chung lớn hơn 1. Ta gọi ước chung này là d. Khi đó ta có: \[ 3n + 2 = d \cdot a \] \[ 4n + 3 = d \cdot b \] Trong đó a và b là các số tự nhiên. Từ đây ta có: \[ 4(3n + 2) = 4d \cdot a \] \[ 3(4n + 3) = 3d \cdot b \] Ta trừ hai biểu thức trên: \[ 4(3n + 2) - 3(4n + 3) = 4d \cdot a - 3d \cdot b \] \[ 12n + 8 - 12n - 9 = d(4a - 3b) \] \[ -1 = d(4a - 3b) \] Vì d là ước chung của 3n + 2 và 4n + 3, nên d phải là ước của -1. Do đó, d chỉ có thể là 1 hoặc -1. Vì d là ước chung lớn hơn 1, nên d phải là 1. Như vậy, tử số và mẫu số của phân thức $\frac{3n + 2}{4n + 3}$ không có ước chung nào khác 1, do đó phân thức này là tối giản với mọi số tự nhiên n. Đáp số: Phân thức $\frac{3n + 2}{4n + 3}$ là tối giản với mọi số tự nhiên n.