Câu 7:
Để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng , ta dựa vào phương trình tổng quát của mặt phẳng . Trong đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có dạng .
So sánh phương trình với phương trình tổng quát, ta nhận thấy:
- Hệ số của là
- Hệ số của là
- Hệ số của là
Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có lựa chọn nào đúng với vectơ pháp tuyến . Vì vậy, ta cần kiểm tra lại các lựa chọn đã cho để xem có lựa chọn nào tương đương với vectơ pháp tuyến này không.
Ta thấy rằng:
- Lựa chọn A: không đúng vì các hệ số không khớp.
- Lựa chọn B: không đúng vì các hệ số không khớp.
- Lựa chọn C: không đúng vì các hệ số không khớp.
- Lựa chọn D: không đúng vì các hệ số không khớp.
Như vậy, không có lựa chọn nào đúng trong các lựa chọn đã cho. Tuy nhiên, nếu chúng ta xét lại các lựa chọn, ta có thể thấy rằng lựa chọn D gần đúng nhất với vectơ pháp tuyến khi nhân với .
Do đó, đáp án đúng là:
Đáp số:
Câu 8:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng để xem đường thẳng BC có vuông góc với mặt phẳng đó hay không.
A. Mặt phẳng (SAB):
- Vì SA vuông góc với đáy (ABCD), nên SA vuông góc với AB.
- Mặt khác, AB nằm trong đáy (ABCD) và BC cũng nằm trong đáy (ABCD), do đó AB vuông góc với BC.
- Tuy nhiên, BC không vuông góc với SA vì SA vuông góc với đáy (ABCD) và BC nằm trong đáy (ABCD).
B. Mặt phẳng (SBC):
- Vì BC nằm trong đáy (ABCD), nên BC không thể vuông góc với chính nó.
- Mặt khác, SB nằm trong mặt phẳng (SBC) và không vuông góc với BC.
C. Mặt phẳng (SCD):
- Vì CD nằm trong đáy (ABCD), nên BC không thể vuông góc với chính nó.
- Mặt khác, SC nằm trong mặt phẳng (SCD) và không vuông góc với BC.
D. Mặt phẳng (SBD):
- Vì BD nằm trong đáy (ABCD), nên BC không thể vuông góc với chính nó.
- Mặt khác, SB nằm trong mặt phẳng (SBD) và không vuông góc với BC.
Từ các lập luận trên, ta thấy rằng đường thẳng BC chỉ vuông góc với mặt phẳng (SAB) vì BC vuông góc với AB và SA vuông góc với đáy (ABCD).
Vậy đáp án đúng là:
A. (SAB).
Câu 9:
Phương trình không có nghiệm vì cơ số của logarit không thể là 1. Do đó, không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho.
Đáp án: Không có nghiệm.
Câu 10:
Để tìm công sai của cấp số cộng , ta sử dụng công thức tính công sai giữa hai số hạng liên tiếp trong cấp số cộng:
Trong bài này, ta biết rằng và . Do đó, công sai sẽ là:
Vậy công sai của cấp số cộng là .
Đáp án đúng là: B. 2
Câu 11:
Để kiểm tra các khẳng định, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của vectơ trong hình hộp.
A.
- Ta có (theo quy tắc tam giác)
- Thêm vào, ta có
- Vậy khẳng định A đúng.
B.
- Ta có (theo quy tắc tam giác)
- Thêm vào, ta có
- Vậy khẳng định B sai vì .
C.
- Ta có (theo quy tắc tam giác)
- Thêm vào, ta có
- Vậy khẳng định C sai vì .
D.
- Ta có
- Ta cũng có
- Vì (do tính chất của hình hộp), vậy khẳng định D đúng.
Kết luận: Các khẳng định sai là B và C.
Đáp án: B và C.
Câu 12:
Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số , ta cần xem xét dấu của đạo hàm .
Hàm số có đạo hàm là:
Ta cần tìm các khoảng mà đạo hàm này nhỏ hơn 0, tức là:
Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 1:
a) Ta có:
b) Đạo hàm của hàm số là:
c) Để tìm nghiệm của phương trình trên đoạn , ta giải phương trình:
Ta xét các giá trị trong đoạn :
- Khi , ta có , thỏa mãn.
- Khi , ta có , không thỏa mãn.
- Khi , ta có , không thỏa mãn.
- Khi , ta có , không thỏa mãn.
- Khi , ta có , không thỏa mãn.
Do đó, phương trình trên đoạn có nghiệm là và .
d) Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn , ta xét đạo hàm :
Ta giải phương trình :
hoặc
hoặc
Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm này:
So sánh các giá trị:
Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là .
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là .
Câu 2:
a) Mặt cầu có tâm và bán kính
b) Phương trình mặt cầu tâm và có bán kính là
Đáp số: a) Tâm ,
b)