Giải chi tiết

Câu 12. Cấp số cộng $$ có các số hạng $$ và $$. Ta cần tìm số hạng $$ của cấp số cộng này. Bước 1: Xác định công sai của cấp số cộng. Công sai $$ của cấp số cộng được tính bằng cách lấy số hạng thứ hai trừ đi số hạng thứ nhất: $$ Bước 2: Viết công thức tổng quát của số hạng thứ $$ trong cấp số cộng. Số hạng thứ $$ của cấp số cộng được tính bằng công thức: $$ Thay $$, $$ vào công thức trên ta có: $$ $$ $$ Bước 3: Kiểm tra đáp án. Ta thấy rằng công thức $$ đúng với các số hạng đã cho: - Khi $$: $$ - Khi $$: $$ Vậy số hạng $$ của cấp số cộng là $$. Đáp án đúng là: $$ Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có đáp án đúng là $$. Vì vậy, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các lựa chọn đã cho. Câu 1. a) Số phần tử của không gian mẫu là 72. b) Để thu được số chia hết cho 3, tổng của hai chữ số trên hai tấm thẻ phải chia hết cho 3. Ta xét các trường hợp: - Nếu số trên tấm thẻ màu vàng là 1, thì số trên tấm thẻ màu đỏ phải là 2, 5 hoặc 8. - Nếu số trên tấm thẻ màu vàng là 2, thì số trên tấm thẻ màu đỏ phải là 1, 4 hoặc 7. - Nếu số trên tấm thẻ màu vàng là 3, thì số trên tấm thẻ màu đỏ phải là 3, 6 hoặc 9. - Nếu số trên tấm thẻ màu vàng là 4, thì số trên tấm thẻ màu đỏ phải là 2, 5 hoặc 8. - Nếu số trên tấm thẻ màu vàng là 5, thì số trên tấm thẻ màu đỏ phải là 1, 4 hoặc 7. - Nếu số trên tấm thẻ màu vàng là 6, thì số trên tấm thẻ màu đỏ phải là 3, 6 hoặc 9. - Nếu số trên tấm thẻ màu vàng là 7, thì số trên tấm thẻ màu đỏ phải là 2, 5 hoặc 8. - Nếu số trên tấm thẻ màu vàng là 8, thì số trên tấm thẻ màu đỏ phải là 1, 4 hoặc 7. Tổng cộng có 24 trường hợp thỏa mãn. Vậy xác suất để thu được số chia hết cho 3 là $$. c) Để chọn được hai tấm thẻ có số giống nhau, ta xét các trường hợp: - Nếu số trên tấm thẻ màu vàng là 1, thì số trên tấm thẻ màu đỏ cũng phải là 1. - Nếu số trên tấm thẻ màu vàng là 2, thì số trên tấm thẻ màu đỏ cũng phải là 2. - Nếu số trên tấm thẻ màu vàng là 3, thì số trên tấm thẻ màu đỏ cũng phải là 3. - Nếu số trên tấm thẻ màu vàng là 4, thì số trên tấm thẻ màu đỏ cũng phải là 4. - Nếu số trên tấm thẻ màu vàng là 5, thì số trên tấm thẻ màu đỏ cũng phải là 5. - Nếu số trên tấm thẻ màu vàng là 6, thì số trên tấm thẻ màu đỏ cũng phải là 6. - Nếu số trên tấm thẻ màu vàng là 7, thì số trên tấm thẻ màu đỏ cũng phải là 7. - Nếu số trên tấm thẻ màu vàng là 8, thì số trên tấm thẻ màu đỏ cũng phải là 8. Tổng cộng có 8 trường hợp thỏa mãn. Vậy xác suất để chọn được hai tấm thẻ có số giống nhau là $$. d) Để tích các số trên hai tấm thẻ lấy được là một số chẵn, ít nhất một trong hai số phải là số chẵn. Ta xét các trường hợp: - Nếu số trên tấm thẻ màu vàng là số lẻ (1, 3, 5, 7), thì số trên tấm thẻ màu đỏ phải là số chẵn (2, 4, 6, 8). - Nếu số trên tấm thẻ màu vàng là số chẵn (2, 4, 6, 8), thì số trên tấm thẻ màu đỏ có thể là bất kỳ số nào (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Tổng cộng có 4 × 4 + 4 × 9 = 16 + 36 = 52 trường hợp thỏa mãn. Vậy xác suất để tích các số trên hai tấm thẻ lấy được là một số chẵn là $$. Đáp số: a) 72 b) $$ c) $$ d) $$ Câu 2. a) Ta có $$ nên tọa độ của điểm $$ là $$ b) Tọa độ của điểm $$ là $$ nên véc tơ $$ có tọa độ là $$ c) Diện tích của mái nhà là $$ Số tiền cần bỏ ra để mua ngói lợp mái nhà là $$ (đồng) d) Gọi $$ là trung điểm của $$. Khi đó $$ là trung điểm của $$. Ta có $$ Do đó tọa độ của điểm $$ là $$ Độ dài đoạn dây điện nối tối thiểu bằng $$ Câu 3. Để giải quyết câu hỏi về vận tốc của chất điểm tại thời điểm $$ giây, chúng ta sẽ dựa vào thông tin từ đồ thị đã cung cấp. Trước hết, ta nhận thấy rằng đồ thị của vận tốc $$ được chia thành ba đoạn: 1. Đoạn thẳng từ $$ đến $$ giây. 2. Đoạn parabol từ $$ đến $$ giây. 3. Đoạn thẳng từ $$ đến $$ giây. Bây giờ, ta sẽ tập trung vào đoạn thẳng từ $$ đến $$ giây, vì thời điểm $$ nằm trong khoảng này. Từ đồ thị, ta thấy rằng vận tốc $$ là một đoạn thẳng từ $$ đến $$ giây. Ta cần xác định phương trình của đoạn thẳng này để tính $$. Ta có hai điểm trên đoạn thẳng này: - Khi $$, $$ m/s. - Khi $$, $$ m/s. Phương trình của đoạn thẳng có dạng $$. Ta sẽ tìm $$ và $$ bằng cách sử dụng hai điểm trên. Từ điểm $$: $$ Từ điểm $$: $$ Ta có hệ phương trình: $$ Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai: $$ $$ $$ Thay $$ vào phương trình $$: $$ $$ $$ $$ $$ Vậy phương trình của đoạn thẳng là: $$ Để tìm $$: $$ $$ $$ $$ Vậy vận tốc của chất điểm tại thời điểm $$ giây là $$.