giúp e vớii sj

Câu 13. Để giải quyết các mệnh đề về hàm số $y=\frac{2x^2-2x+2}{-x+1}$, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a: Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$ Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{2x^2 - 2x + 2}{-x + 1}\right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(2x^2 - 2x + 2)'(-x + 1) - (2x^2 - 2x + 2)(-x + 1)'}{(-x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{(4x - 2)(-x + 1) - (2x^2 - 2x + 2)(-1)}{(-x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{-4x^2 + 4x + 2x - 2 + 2x^2 - 2x + 2}{(-x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{-2x^2 + 4x}{(-x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{-2x(x - 2)}{(-x + 1)^2} \] Đạo hàm $y'$ sẽ âm khi: \[ -2x(x - 2) < 0 \] \[ x(x - 2) > 0 \] Phương trình $x(x - 2) = 0$ có nghiệm $x = 0$ và $x = 2$. Ta xét dấu của biểu thức $x(x - 2)$ trên các khoảng: - Khi $x < 0$: $x(x - 2) > 0$ - Khi $0 < x < 2$: $x(x - 2) < 0$ - Khi $x > 2$: $x(x - 2) > 0$ Do đó, $y'$ âm trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng này. Mệnh đề a là Đúng. Mệnh đề b: Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ Từ đạo hàm $y' = \frac{-2x(x - 2)}{(-x + 1)^2}$, ta thấy: - $y'$ chuyển từ âm sang dương khi $x$ qua giá trị $x = 2$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$. Mệnh đề b là Đúng. Mệnh đề c: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[1,5; 2,5]$ là $-\frac{19}{3}$ Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực tiểu trong đoạn $[1,5; 2,5]$: - Tại $x = 1,5$: \[ y = \frac{2(1,5)^2 - 2(1,5) + 2}{-(1,5) + 1} = \frac{2(2,25) - 3 + 2}{-0,5} = \frac{4,5 - 3 + 2}{-0,5} = \frac{3,5}{-0,5} = -7 \] - Tại $x = 2$: \[ y = \frac{2(2)^2 - 2(2) + 2}{-(2) + 1} = \frac{2(4) - 4 + 2}{-1} = \frac{8 - 4 + 2}{-1} = \frac{6}{-1} = -6 \] - Tại $x = 2,5$: \[ y = \frac{2(2,5)^2 - 2(2,5) + 2}{-(2,5) + 1} = \frac{2(6,25) - 5 + 2}{-1,5} = \frac{12,5 - 5 + 2}{-1,5} = \frac{9,5}{-1,5} = -\frac{19}{3} \] Trong các giá trị trên, giá trị nhỏ nhất là $-\frac{19}{3}$. Mệnh đề c là Đúng. Mệnh đề d: Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là $2x + y = 0$ Để tìm tiệm cận xiên, ta chia tử và mẫu của hàm số cho $x$: \[ y = \frac{2x^2 - 2x + 2}{-x + 1} = \frac{2x - 2 + \frac{2}{x}}{-1 + \frac{1}{x}} \] Khi $x \to \pm \infty$, $\frac{2}{x} \to 0$ và $\frac{1}{x} \to 0$, ta có: \[ y \approx \frac{2x - 2}{-1} = -2x + 2 \] Tiệm cận xiên của hàm số là $y = -2x + 2$, tức là $2x + y = 2$. Mệnh đề d là Sai. Kết luận: - Mệnh đề a: Đúng - Mệnh đề b: Đúng - Mệnh đề c: Đúng - Mệnh đề d: Sai