Giải giúp tôi

Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần 4: Tính thể tích của lều Bước 1: Xác định phương trình của parabol - Parabol đi qua điểm A(2√2, 0), O(0, 0), và C(0, 2√2). - Ta có phương trình parabol dạng \( y = ax^2 \). Thay tọa độ điểm A vào phương trình: \[ 0 = a(2\sqrt{2})^2 \] \[ 0 = 8a \] \[ a = 0 \] Do đó, phương trình parabol là \( y = -x^2 + 2 \). Bước 2: Xác định diện tích mặt cắt vuông góc - Mặt cắt của lều khi cắt bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) là một hình vuông. - Diện tích của hình vuông này là \( S = (2h)^2 = 4h^2 \), trong đó \( h \) là khoảng cách từ đỉnh lều đến mặt cắt. Bước 3: Tính thể tích của lều - Thể tích của lều là tích của diện tích mặt cắt và chiều cao của lều. - Chiều cao của lều là 2m. \[ V = \int_{0}^{2} 4h^2 \, dh \] Tính tích phân: \[ V = 4 \int_{0}^{2} h^2 \, dh \] \[ V = 4 \left[ \frac{h^3}{3} \right]_{0}^{2} \] \[ V = 4 \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ V = 4 \left( \frac{8}{3} \right) \] \[ V = \frac{32}{3} \] Vậy thể tích của lều là \( \frac{32}{3} \) m³. Phần 5: Tìm số mét vải lụa để đạt lợi nhuận tối đa Bước 1: Xác định hàm doanh thu và lợi nhuận - Doanh thu \( R(x) = 300x \) (nghìn đồng). - Chi phí \( C(x) = \frac{23}{36}x^3 + x^2 + 200 \) (nghìn đồng). - Lợi nhuận \( P(x) = R(x) - C(x) \). \[ P(x) = 300x - \left( \frac{23}{36}x^3 + x^2 + 200 \right) \] \[ P(x) = 300x - \frac{23}{36}x^3 - x^2 - 200 \] Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm lợi nhuận \[ P'(x) = 300 - \frac{69}{36}x^2 - 2x \] \[ P'(x) = 300 - \frac{23}{12}x^2 - 2x \] Bước 3: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 \[ 300 - \frac{23}{12}x^2 - 2x = 0 \] Nhân cả hai vế với 12 để loại bỏ mẫu số: \[ 3600 - 23x^2 - 24x = 0 \] Chuyển tất cả về một vế: \[ 23x^2 + 24x - 3600 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 + 4 \cdot 23 \cdot 3600}}{2 \cdot 23} \] \[ x = \frac{-24 \pm \sqrt{576 + 331200}}{46} \] \[ x = \frac{-24 \pm \sqrt{331776}}{46} \] \[ x = \frac{-24 \pm 576}{46} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{552}{46} = 12 \] \[ x_2 = \frac{-600}{46} = -13.04 \] (loại vì \( x \geq 1 \)) Bước 4: Kiểm tra điều kiện để đảm bảo đạt lợi nhuận tối đa - Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai \( P''(x) \): \[ P''(x) = -\frac{46}{12}x - 2 \] \[ P''(12) = -\frac{46}{12} \cdot 12 - 2 = -46 - 2 = -48 \] Vì \( P''(12) < 0 \), nên \( x = 12 \) là điểm cực đại. Vậy để đạt lợi nhuận tối đa, mỗi ngày hộ cần sản xuất 12 mét vải lụa.