Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: x² = yz; y² = xz; z² = xy. CMR: x = y = z

Ta có: \[ x^2 = yz \] \[ y^2 = xz \] \[ z^2 = xy \] Nhân cả ba phương trình lại với nhau ta được: \[ x^2 \cdot y^2 \cdot z^2 = (yz) \cdot (xz) \cdot (xy) \] \[ (xyz)^2 = (xyz)^2 \] Phương trình này luôn đúng, do đó ta xét các trường hợp sau: 1. Trường hợp 1: Giả sử \( x = 0 \) - Từ \( x^2 = yz \), ta có \( 0 = yz \). Điều này suy ra \( y = 0 \) hoặc \( z = 0 \). - Nếu \( y = 0 \), từ \( y^2 = xz \), ta có \( 0 = xz \). Điều này suy ra \( z = 0 \) (vì \( x = 0 \)). - Nếu \( z = 0 \), từ \( z^2 = xy \), ta có \( 0 = xy \). Điều này suy ra \( y = 0 \) (vì \( x = 0 \)). Vậy trong trường hợp này, ta có \( x = y = z = 0 \). 2. Trường hợp 2: Giả sử \( x \neq 0 \), \( y \neq 0 \), \( z \neq 0 \) - Chia cả hai vế của \( x^2 = yz \) cho \( x \), ta được \( x = \frac{yz}{x} \). - Chia cả hai vế của \( y^2 = xz \) cho \( y \), ta được \( y = \frac{xz}{y} \). - Chia cả hai vế của \( z^2 = xy \) cho \( z \), ta được \( z = \frac{xy}{z} \). Ta thấy rằng: \[ x = \frac{yz}{x} \] \[ y = \frac{xz}{y} \] \[ z = \frac{xy}{z} \] Nhân cả ba phương trình lại với nhau ta được: \[ x \cdot y \cdot z = \left( \frac{yz}{x} \right) \cdot \left( \frac{xz}{y} \right) \cdot \left( \frac{xy}{z} \right) \] \[ xyz = \frac{(yz)(xz)(xy)}{xyz} \] \[ xyz = xyz \] Điều này luôn đúng, do đó ta xét tiếp: - Từ \( x = \frac{yz}{x} \), ta có \( x^2 = yz \). - Từ \( y = \frac{xz}{y} \), ta có \( y^2 = xz \). - Từ \( z = \frac{xy}{z} \), ta có \( z^2 = xy \). Ta thấy rằng nếu \( x = y = z \), thì tất cả các phương trình đều đúng. Vậy, trong cả hai trường hợp, ta đều có \( x = y = z \). Kết luận: \( x = y = z \).