Giúp mik vs ạ

Câu 1: Trước hết, ta biết rằng trong một cấp số nhân, mỗi số hạng được tính bằng cách nhân số hạng trước đó với công bội. Công thức tổng quát của số hạng thứ n trong cấp số nhân là: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Ở đây, ta đã biết số hạng thứ 5 (\(u_5\)) là 16 và công bội (\(q\)) là 2. Ta sẽ sử dụng công thức trên để tìm số hạng đầu tiên (\(u_1\)): \[ u_5 = u_1 \cdot q^{5-1} \] \[ 16 = u_1 \cdot 2^4 \] \[ 16 = u_1 \cdot 16 \] Bây giờ, ta chia cả hai vế của phương trình cho 16 để tìm \(u_1\): \[ u_1 = \frac{16}{16} \] \[ u_1 = 1 \] Vậy số hạng đầu tiên của cấp số nhân là \(u_1 = 1\). Đáp án đúng là: \(D.~u_1=1\) Câu 2: Để tìm khẳng định sai trong các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng tích phân một. A. $\int \cos x \, dx = \sin x + C$ - Đây là công thức tích phân đúng vì đạo hàm của $\sin x$ là $\cos x$. B. $\int \sin x \, dx = \cos x + c$ - Đây là công thức tích phân sai vì đạo hàm của $\cos x$ là $-\sin x$, do đó tích phân đúng của $\sin x$ là $-\cos x + c$. C. $\int -\cos x \, dx = -\sin x + c$ - Đây là công thức tích phân đúng vì đạo hàm của $-\sin x$ là $-\cos x$. D. $\int \sin x \, dx = -\cos x + c$ - Đây là công thức tích phân đúng vì đạo hàm của $-\cos x$ là $\sin x$. Như vậy, khẳng định sai là: B. $\int \sin x \, dx = \cos x + c$ Đáp án: B. Câu 3: Để tính giá trị của $\int^2_1(4+f(x))dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tách tích phân thành tổng của hai tích phân: \[ \int^2_1(4+f(x))dx = \int^2_1 4 \, dx + \int^2_1 f(x) \, dx \] Bước 2: Tính $\int^2_1 4 \, dx$: \[ \int^2_1 4 \, dx = 4 \int^2_1 1 \, dx = 4 [x]^2_1 = 4 (2 - 1) = 4 \] Bước 3: Tính $\int^2_1 f(x) \, dx$. Biết rằng $F(x) = x^3$ là một nguyên hàm của $f(x)$, ta có: \[ \int^2_1 f(x) \, dx = F(2) - F(1) = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7 \] Bước 4: Cộng kết quả của hai tích phân: \[ \int^2_1(4+f(x))dx = 4 + 7 = 11 \] Như vậy, giá trị của $\int^2_1(4+f(x))dx$ là 11. Đáp án đúng là: A. $\frac{31}{4}$ Tuy nhiên, theo các bước tính toán trên, đáp án đúng là 11, không phải là $\frac{31}{4}$. Câu 4: Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) được cho bởi phương trình tham số \(\frac{x-2}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+3}{-3}\), ta cần xác định các hệ số ở mẫu số của các phân số này. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng: \[ \frac{x-2}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+3}{-3} \] Từ phương trình này, ta thấy rằng các hệ số ở mẫu số tương ứng với các biến \(x\), \(y\), và \(z\) là 2, 1, và -3. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) sẽ có các thành phần là các hệ số này. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là: \[ \overrightarrow{u_d} = (2, 1, -3) \] So sánh với các lựa chọn đã cho: - A. \(\overrightarrow{u_i} = (-1, 2, 1)\) - B. \(\overrightarrow{u_d} = (1, 2, -3)\) - C. \(\overrightarrow{u_1} = (2, 1, -3)\) - D. \(\overrightarrow{u_2} = (2, 1, 1)\) Ta thấy rằng vectơ chỉ phương đúng là: \[ \overrightarrow{u_1} = (2, 1, -3) \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~\overrightarrow{u_1} = (2, 1, -3)} \] Câu 5: Để giải phương trình $4^x = 12$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chuyển đổi về dạng lô-ga-rít. Bước 1: Xác định phương trình đã cho: \[ 4^x = 12 \] Bước 2: Chuyển đổi phương trình trên về dạng lô-ga-rít: \[ x = \log_4 12 \] Bước 3: Kiểm tra lại đáp án: - Đáp án A: \( x = \log_4 12 \) - Đáp án B: \( x = 4 \) - Đáp án C: \( x = 3 \) - Đáp án D: \( x = \log_{12} 4 \) Trong các đáp án trên, chỉ có đáp án A đúng vì nó chính là kết quả của việc chuyển đổi phương trình $4^x = 12$ về dạng lô-ga-rít. Vậy nghiệm của phương trình $4^x = 12$ là: \[ \boxed{x = \log_4 12} \] Câu 6: Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD với SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ABCD là hình chữ nhật. Do ABCD là hình chữ nhật, ta có: - AB vuông góc với AD. - CD vuông góc với AD. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng để xem AD có vuông góc với mặt phẳng đó hay không. 1. Mặt phẳng (SCD): - Ta có AD vuông góc với CD (vì ABCD là hình chữ nhật). - Để AD vuông góc với mặt phẳng (SCD), AD phải vuông góc với SC nữa. - Tuy nhiên, do SA vuông góc với (ABCD), nên SC không vuông góc với AD. - Vậy AD không vuông góc với mặt phẳng (SCD). 2. Mặt phẳng (SAB): - Ta có AD vuông góc với AB (vì ABCD là hình chữ nhật). - Để AD vuông góc với mặt phẳng (SAB), AD phải vuông góc với SA nữa. - Tuy nhiên, SA vuông góc với (ABCD), nên SA không vuông góc với AD. - Vậy AD không vuông góc với mặt phẳng (SAB). 3. Mặt phẳng (SBD): - Ta có AD vuông góc với BD (vì ABCD là hình chữ nhật). - Để AD vuông góc với mặt phẳng (SBD), AD phải vuông góc với SB nữa. - Tuy nhiên, do SA vuông góc với (ABCD), nên SB không vuông góc với AD. - Vậy AD không vuông góc với mặt phẳng (SBD). 4. Mặt phẳng (SAC): - Ta có AD vuông góc với AC (vì ABCD là hình chữ nhật). - Để AD vuông góc với mặt phẳng (SAC), AD phải vuông góc với SA nữa. - Do SA vuông góc với (ABCD), nên SA vuông góc với AD. - Vậy AD vuông góc với mặt phẳng (SAC). Từ các lập luận trên, ta thấy rằng AD chỉ vuông góc với mặt phẳng (SAC). Đáp án đúng là: D. (SAC). Câu 7: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1;2;3)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;-2;3)$ có dạng: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] Trong đó $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1, -2, 3)$ và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm $M(1, 2, 3)$. Thay vào ta có: \[ 1(x - 1) - 2(y - 2) + 3(z - 3) = 0 \] Rút gọn phương trình này: \[ x - 1 - 2y + 4 + 3z - 9 = 0 \] \[ x - 2y + 3z - 6 = 0 \] Do đó, phương trình mặt phẳng đúng là: \[ x - 2y + 3z - 6 = 0 \] Vậy đáp án đúng là: \(\textcircled{D.}~x-2y+3x-6=0\) Câu 8: Để tìm góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (Oyz), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số: \[ \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{22} = \frac{z+\sqrt{2}}{2} \] Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u} = (1, 22, 2)$. 2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz): Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là $x = 0$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n} = (1, 0, 0)$. 3. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được tính thông qua góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Gọi góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{n}$ là $\theta$, thì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là $90^\circ - \theta$. Ta có: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{|\vec{u}| |\vec{n}|} \] Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{n}$: \[ \vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + 22 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 1 \] Tính độ dài của $\vec{u}$: \[ |\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 22^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 484 + 4} = \sqrt{489} \] Độ dài của $\vec{n}$ là: \[ |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \] Vậy: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{489}} \] Góc $\theta$ là: \[ \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{489}}\right) \] Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là: \[ 90^\circ - \theta = 90^\circ - \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{489}}\right) \] Ta nhận thấy rằng $\frac{1}{\sqrt{489}}$ là một giá trị rất nhỏ, do đó $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{489}}\right)$ gần bằng $90^\circ$. Vì vậy, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng sẽ gần bằng $0^\circ$. Do đó, góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (Oyz) là gần bằng $0^\circ$, nhưng trong các lựa chọn đã cho, góc gần đúng nhất là $30^\circ$. Đáp án: A. $30^\circ$ Câu 9: Để giải bất phương trình $\log_{\frac12}(x-2) \leq 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_{\frac12}(x-2)$, ta cần đảm bảo rằng $x-2 > 0$. Do đó: \[ x > 2 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_{\frac12}(x-2) \leq 1$. - Biến đổi về dạng cơ bản: \[ \log_{\frac12}(x-2) \leq \log_{\frac12}\left(\frac12\right) \] - Vì $\log_{\frac12}(a) \leq \log_{\frac12}(b)$ suy ra $a \geq b$ (do $\frac12 < 1$), ta có: \[ x-2 \geq \frac12 \] - Giải phương trình này: \[ x \geq \frac12 + 2 = \frac52 \] 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > 2$ và kết quả từ bất phương trình $x \geq \frac52$, ta nhận thấy rằng $x \geq \frac52$ đã bao gồm cả điều kiện $x > 2$. - Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là: \[ \left[\frac52; +\infty\right) \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\left[\frac52; +\infty\right) \] Câu 10: Để tính số trung bình của mẫu số liệu trên, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung vị của mỗi khoảng thời gian: - Khoảng [20; 25): Trung vị là $\frac{20 + 25}{2} = 22.5$ phút. - Khoảng [25; 30): Trung vị là $\frac{25 + 30}{2} = 27.5$ phút. - Khoảng [30; 35): Trung vị là $\frac{30 + 35}{2} = 32.5$ phút. - Khoảng [35; 40): Trung vị là $\frac{35 + 40}{2} = 37.5$ phút. - Khoảng [40; 55): Trung vị là $\frac{40 + 55}{2} = 47.5$ phút. 2. Nhân trung vị của mỗi khoảng với số ngày tương ứng: - Khoảng [20; 25): $22.5 \times 6 = 135$ phút. - Khoảng [25; 30): $27.5 \times 6 = 165$ phút. - Khoảng [30; 35): $32.5 \times 4 = 130$ phút. - Khoảng [35; 40): $37.5 \times 1 = 37.5$ phút. - Khoảng [40; 55): $47.5 \times 1 = 47.5$ phút. 3. Tính tổng số phút: \[ 135 + 165 + 130 + 37.5 + 47.5 = 515 \text{ phút} \] 4. Tính tổng số ngày: \[ 6 + 6 + 4 + 1 + 1 = 18 \text{ ngày} \] 5. Tính số trung bình: \[ \frac{515}{18} \approx 28.61 \text{ phút} \] Vậy số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng $[25; 30)$. Đáp án: A. $[25; 30)$ Câu 11: Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-3}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số $y=\frac{2x+1}{x-3}$ có nghĩa là $x-3 \neq 0$, suy ra $x \neq 3$. 2. Tìm tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng của hàm số $y=\frac{2x+1}{x-3}$ là đường thẳng $x=a$ sao cho $\lim_{x \to a} y = \pm \infty$. Trong trường hợp này, ta thấy rằng khi $x \to 3$, mẫu số $x-3$ sẽ tiến đến 0, làm cho giá trị của hàm số tiến đến vô cùng. Do đó, ta có: \[ \lim_{x \to 3^+} \frac{2x+1}{x-3} = +\infty \] và \[ \lim_{x \to 3^-} \frac{2x+1}{x-3} = -\infty \] Điều này cho thấy đường thẳng $x=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy, đáp án đúng là: \[ B.~x=3. \]