Giải bài tập

Câu 24. Để xác định dãy số nào là cấp số cộng, ta cần kiểm tra xem mỗi số hạng trong dãy có cùng một khoảng cách (số hạng sau trừ số hạng trước) không. A. -1, 0, 1, 1 - Kiểm tra khoảng cách: 0 - (-1) = 1 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 Không phải là cấp số cộng vì khoảng cách không giống nhau. B. -3, -7, 77, - Kiểm tra khoảng cách: -7 - (-3) = -4 77 - (-7) = 84 Không phải là cấp số cộng vì khoảng cách không giống nhau. C. -2, -3, -6, -5 - Kiểm tra khoảng cách: -3 - (-2) = -1 -6 - (-3) = -3 -5 - (-6) = 1 Không phải là cấp số cộng vì khoảng cách không giống nhau. D. 5, 9, 13, 17 - Kiểm tra khoảng cách: 9 - 5 = 4 13 - 9 = 4 17 - 13 = 4 Phải là cấp số cộng vì khoảng cách giống nhau (4). Vậy dãy số là cấp số cộng là D. 5, 9, 13, 17. Câu 25. Để tính số hạng thứ 9 của cấp số nhân, ta cần biết công bội của cấp số nhân đó. Bước 1: Tìm công bội của cấp số nhân. Công bội \( q \) của cấp số nhân được tính bằng cách chia số hạng thứ hai cho số hạng thứ nhất: \[ q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{20}{5} = 4 \] Bước 2: Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân. Số hạng thứ \( n \) của cấp số nhân được tính theo công thức: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Với \( n = 9 \): \[ u_9 = 5 \cdot 4^{9-1} = 5 \cdot 4^8 \] Bước 3: Tính \( 4^8 \). \[ 4^8 = (2^2)^8 = 2^{16} = 65536 \] Bước 4: Tính \( u_9 \). \[ u_9 = 5 \cdot 65536 = 327680 \] Vậy số hạng thứ 9 của cấp số nhân là 327680. Đáp án đúng là: A. 327680 Câu 26. Cấp số nhân có công bội \( q = -2 \) và \( u_3 = -12 \). Muốn tính \( u_4 \), ta sử dụng công thức của cấp số nhân: \[ u_n = u_{n-1} \cdot q \] Áp dụng vào bài toán: \[ u_4 = u_3 \cdot q \] \[ u_4 = (-12) \cdot (-2) \] \[ u_4 = 24 \] Vậy đáp án đúng là B. 24. Câu 27. Để tính tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân, ta sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: \[ S_n = u_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \] Trong đó: - \( u_1 = 2 \) - \( q = 4 \) - \( n = 5 \) Thay các giá trị vào công thức: \[ S_5 = 2 \cdot \frac{4^5 - 1}{4 - 1} \] Tính \( 4^5 \): \[ 4^5 = 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 1024 \] Do đó: \[ S_5 = 2 \cdot \frac{1024 - 1}{3} = 2 \cdot \frac{1023}{3} = 2 \cdot 341 = 682 \] Vậy đáp án đúng là D. 682. Câu 28. Để tính tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân, ta cần biết số hạng đầu tiên ($u_1$) và công bội ($q$). Ta đã biết $u_1 = 3$. Bây giờ, ta sẽ tìm công bội $q$ từ thông tin về số hạng thứ 8 ($u_8 = -384$). Công thức số hạng thứ n của cấp số nhân là: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Áp dụng vào số hạng thứ 8: \[ u_8 = u_1 \cdot q^7 \] \[ -384 = 3 \cdot q^7 \] \[ q^7 = \frac{-384}{3} \] \[ q^7 = -128 \] \[ q = (-128)^{\frac{1}{7}} \] \[ q = -2 \] Bây giờ, ta đã biết công bội $q = -2$. Ta sẽ tính tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng công thức: \[ S_n = u_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \] Áp dụng vào $S_5$: \[ S_5 = 3 \cdot \frac{1 - (-2)^5}{1 - (-2)} \] \[ S_5 = 3 \cdot \frac{1 - (-32)}{1 + 2} \] \[ S_5 = 3 \cdot \frac{1 + 32}{3} \] \[ S_5 = 3 \cdot \frac{33}{3} \] \[ S_5 = 3 \cdot 11 \] \[ S_5 = 33 \] Vậy đáp án đúng là D. 33. Câu 29. Trước tiên, ta cần tìm công bội \( q \) của cấp số nhân. Biết rằng \( u_1 = -1 \) và \( u_9 = -256 \), ta có: \[ u_9 = u_1 \cdot q^8 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ -256 = -1 \cdot q^8 \] \[ q^8 = 256 \] Biết rằng \( 256 = 2^8 \), ta có: \[ q^8 = 2^8 \] Do đó: \[ q = 2 \text{ hoặc } q = -2 \] Vì công bội là một số âm, ta chọn \( q = -2 \). Bây giờ, ta tính tổng ba số hạng đầu tiên \( S_3 \): \[ S_3 = u_1 + u_2 + u_3 \] Ta biết rằng: \[ u_2 = u_1 \cdot q = -1 \cdot (-2) = 2 \] \[ u_3 = u_2 \cdot q = 2 \cdot (-2) = -4 \] Vậy: \[ S_3 = -1 + 2 - 4 = -3 \] Đáp án đúng là B. -3. Câu 30. Để tính tổng bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân, ta cần biết số hạng đầu tiên \( u_1 \) và công bội \( q \). Cấp số nhân có công bội \( q = 4 \) và số hạng thứ ba \( u_3 = 16 \). Ta có: \[ u_3 = u_1 \cdot q^2 \] \[ 16 = u_1 \cdot 4^2 \] \[ 16 = u_1 \cdot 16 \] \[ u_1 = 1 \] Bây giờ, ta tính tổng bốn số hạng đầu tiên \( S_4 \): \[ S_4 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 \] \[ S_4 = u_1 + u_1 \cdot q + u_1 \cdot q^2 + u_1 \cdot q^3 \] \[ S_4 = 1 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 16 + 1 \cdot 64 \] \[ S_4 = 1 + 4 + 16 + 64 \] \[ S_4 = 85 \] Vậy đáp án đúng là B. 85. Câu 31. Để tính số hạng thứ 12 của cấp số cộng, ta cần biết số hạng đầu tiên \( u_1 \) và công sai \( d \). Cấp số cộng có số hạng đầu \( u_1 = 5 \) và số hạng thứ 5 là \( u_5 = -3 \). Ta có công thức tính số hạng thứ n của cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng vào số hạng thứ 5: \[ u_5 = u_1 + 4d \] \[ -3 = 5 + 4d \] Giải phương trình này để tìm \( d \): \[ -3 = 5 + 4d \] \[ -3 - 5 = 4d \] \[ -8 = 4d \] \[ d = -2 \] Bây giờ, ta đã biết công sai \( d = -2 \). Ta sẽ tính số hạng thứ 12 \( u_{12} \): \[ u_{12} = u_1 + 11d \] \[ u_{12} = 5 + 11(-2) \] \[ u_{12} = 5 - 22 \] \[ u_{12} = -17 \] Vậy số hạng thứ 12 của cấp số cộng là \(-17\). Đáp án đúng là: C. -17