Câu 1.
Để tìm đạo hàm của hàm số , chúng ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của hàm mũ :
Trong đó:
-
-
Bước 1: Tính đạo hàm của :
Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ:
Bước 3: Kết luận:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 2.
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số , ta thấy rằng:
- Trên khoảng , hàm số đồng biến.
- Trên khoảng , hàm số nghịch biến.
- Trên khoảng , hàm số đồng biến.
Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng .
Vậy đáp án đúng là:
Đáp số:
Câu 3
Bài 3: Giải bất phương trình
Điều kiện xác định:
Bất phương trình có thể viết lại dưới dạng:
Vì là hàm giảm nên:
Kết hợp điều kiện xác định , ta có:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
Đáp án đúng là: .
Bài 4: Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Thể tích của khối chóp S.ABCD được tính theo công thức:
Trong đó:
-
- Diện tích đáy
Thay vào công thức thể tích:
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:
Đáp án đúng là: .
Câu 5.
Câu hỏi 1:
Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, Góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (BCC'B') bằng
A. 90°
B. 45°
C. 30°
D. 60°
Lời giải:
Trong hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D', ta có:
- Đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
- .
Ta cần tìm góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (BCC'B').
1. Xác định giao điểm của AC' với mặt phẳng (BCC'B'):
- Vì AC' cắt B'C' tại C', nên giao điểm là C'.
2. Xác định đường thẳng AC' và mặt phẳng (BCC'B'):
- Đường thẳng AC' nằm trong mặt phẳng (ACC'A').
- Mặt phẳng (BCC'B') chứa các điểm B, C, C', B'.
3. Tìm góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (BCC'B'):
- Góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (BCC'B') là góc giữa AC' và đường thẳng C'B' (vì C'B' là đường thẳng trong mặt phẳng (BCC'B') và vuông góc với giao tuyến CC').
4. Xác định góc giữa AC' và C'B':
- Trong tam giác ACC', ta có AC = a√2 (đường chéo của hình vuông ABCD).
- AC' = a√3 (theo định lý Pythagoras trong tam giác ACC' với AC = a√2 và AA' = a√2).
5. Xác định góc giữa AC' và C'B':
- Trong tam giác AC'C, ta có AC' = a√3 và C'C = a√2.
- Góc giữa AC' và C'B' là góc giữa AC' và C'C, vì C'B' vuông góc với CC'.
6. Tính góc giữa AC' và C'C:
- Ta có .
- Vậy góc .
Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng góc giữa AC' và C'B' là 45°, vì AC' và C'B' tạo thành một góc vuông trong tam giác vuông ACC'.
Vậy góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (BCC'B') là 45°.
Đáp án đúng là: B. 45°.
Câu hỏi 2:
Cho hàm số có đạo hàm , . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (2; 4)
B. (-∞; -2)
C. (2; +∞)
D. (-2; +∞)
Lời giải:
1. Xác định đạo hàm của hàm số:
- Đạo hàm của hàm số là .
2. Xác định khoảng nghịch biến của hàm số:
- Hàm số nghịch biến khi đạo hàm .
- Giải bất phương trình :
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -2).
Đáp án đúng là: B. (-∞; -2).
Câu 7.
Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong không gian Oxyz, mỗi điểm có tọa độ (x, y, z) tương ứng với các thành phần của véc-tơ từ gốc tọa độ O đến điểm đó.
Ta có:
Trong đó:
- là véc-tơ đơn vị trên trục Ox, có tọa độ (1, 0, 0).
- là véc-tơ đơn vị trên trục Oy, có tọa độ (0, 1, 0).
Do đó:
Từ đây, ta thấy tọa độ của điểm A là (2, 1, 0).
Vậy đáp án đúng là:
Câu 8.
Để tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu:
- Giá trị lớn nhất là 10 (ở nhóm [9;10]).
- Giá trị nhỏ nhất là 3 (ở nhóm đầu tiên).
2. Tính khoảng biến thiên:
Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất
Khoảng biến thiên = 10 - 3 = 7
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 7.
Đáp án đúng là: A. 7
Câu 9.
Để tìm tập xác định của hàm số , ta cần đảm bảo rằng các thành phần trong hàm số đều có nghĩa.
1. Xét phần :
- Để hàm số có nghĩa, biểu thức phải lớn hơn 0.
- Ta giải bất phương trình :
- Vậy tập xác định từ phần này là .
2. Xét phần :
- Biểu thức có nghĩa nếu không bằng 0 (vì lũy thừa của số âm với số thực không phải số nguyên sẽ không có nghĩa trong tập số thực).
- Ta giải phương trình :
- Vậy .
3. Tổng hợp điều kiện:
- Kết hợp cả hai điều kiện trên, ta có tập xác định của hàm số là:
Vậy tập xác định của hàm số là:
Đáp án đúng là: .