giải chi tiết ạ

Câu 6. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$ để xác định các tính chất của hàm số và từ đó suy ra các phương án đúng. Bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$ cho thấy: - Hàm số tăng trên khoảng $(-\infty, -1)$ và $(1, +\infty)$. - Hàm số giảm trên khoảng $(-1, 1)$. - Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = -1$ với giá trị $f(-1) = 2$. - Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 1$ với giá trị $f(1) = -2$. Dựa vào bảng biến thiên, chúng ta có thể xác định các tính chất của hàm số như sau: 1. Hàm số đạt cực đại tại $x = -1$ với giá trị $f(-1) = 2$. 2. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ với giá trị $f(1) = -2$. 3. Hàm số tăng trên khoảng $(-\infty, -1)$ và $(1, +\infty)$. 4. Hàm số giảm trên khoảng $(-1, 1)$. Vậy, các phương án đúng là: - Hàm số đạt cực đại tại $x = -1$ với giá trị $f(-1) = 2$. - Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ với giá trị $f(1) = -2$. - Hàm số tăng trên khoảng $(-\infty, -1)$ và $(1, +\infty)$. - Hàm số giảm trên khoảng $(-1, 1)$. Do đó, phương án đúng là: - Hàm số đạt cực đại tại $x = -1$ với giá trị $f(-1) = 2$. - Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ với giá trị $f(1) = -2$. - Hàm số tăng trên khoảng $(-\infty, -1)$ và $(1, +\infty)$. - Hàm số giảm trên khoảng $(-1, 1)$. Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ phân tích đạo hàm của hàm số $f'(x) = (x - 1)^2$ để xác định tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = f(x)$. 1. Phân tích đạo hàm: - Ta có $f'(x) = (x - 1)^2$. - Đạo hàm $f'(x)$ luôn dương hoặc bằng 0 vì $(x - 1)^2 \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. - Đặc biệt, $f'(x) = 0$ khi $x = 1$. 2. Xác định tính chất đồng biến/nghịch biến: - Vì $f'(x) \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, hàm số $y = f(x)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$. - Tuy nhiên, tại điểm $x = 1$, đạo hàm bằng 0, hàm số có thể có điểm cực tiểu hoặc điểm uốn nhưng vẫn giữ tính đồng biến tổng thể. 3. Kiểm tra các khẳng định: - Khẳng định A: "Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; 1)$ và nghịch biến trên khoảng $(1; +\infty)$." - Sai vì hàm số đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. - Khẳng định B: "Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 1)$ và đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$." - Sai vì hàm số đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. - Khẳng định C: "Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$." - Đúng vì đạo hàm $f'(x) \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. - Khẳng định D: "Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$." - Sai vì hàm số đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Kết luận: - Khẳng định đúng là: C. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. - Các khẳng định sai là: A, B, D. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: - Do hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, không có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất toàn cục. - Tuy nhiên, nếu xét trên một đoạn hữu hạn, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất sẽ phụ thuộc vào các giá trị biên của đoạn đó. Đáp án: - Khẳng định đúng: C. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. - Các khẳng định sai: A, B, D. Câu 2. Trước tiên, ta cần hiểu rõ về trọng tâm của một tam giác. Trọng tâm của một tam giác là điểm giao của ba đường trung tuyến của tam giác đó. Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn tỉ lệ 2 : 1, với đoạn gần đỉnh gấp đôi đoạn gần cạnh đáy. Trong hình lăng trụ ABC.A'B'C', ta xét tam giác ABC'. Trọng tâm của tam giác này là điểm \(G_1\). Để xác định vị trí của \(G_1\), ta cần biết rằng \(G_1\) nằm trên mỗi đường trung tuyến của tam giác ABC' và chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2 : 1. Bây giờ, ta sẽ lập luận từng bước để xác định vị trí của \(G_1\): 1. Xác định các đường trung tuyến của tam giác ABC': - Đường trung tuyến từ đỉnh A đến trung điểm của cạnh BC'. - Đường trung tuyến từ đỉnh B đến trung điểm của cạnh AC'. - Đường trung tuyến từ đỉnh C' đến trung điểm của cạnh AB. 2. Tìm trung điểm của các cạnh: - Trung điểm của cạnh BC' là điểm D. - Trung điểm của cạnh AC' là điểm E. - Trung điểm của cạnh AB là điểm F. 3. Xác định vị trí của trọng tâm \(G_1\): - Trọng tâm \(G_1\) nằm trên đường trung tuyến từ A đến D, từ B đến E, và từ C' đến F. - \(G_1\) chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2 : 1, nghĩa là đoạn từ đỉnh đến \(G_1\) gấp đôi đoạn từ \(G_1\) đến trung điểm. Do đó, trọng tâm \(G_1\) của tam giác ABC' là điểm giao của ba đường trung tuyến này và chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2 : 1. Kết luận: Trọng tâm \(G_1\) của tam giác ABC' là điểm giao của ba đường trung tuyến của tam giác đó và chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2 : 1. Câu 7. Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin x$ là: Ta biết rằng đạo hàm của $\cos x$ là $-\sin x$. Do đó, nguyên hàm của $\sin x$ sẽ là $-\cos x$ cộng thêm hằng số $C$. Vậy nguyên hàm của $f(x) = \sin x$ là: \[ F(x) = -\cos x + C \] Đáp án đúng là: \[ C. -\cos x + C \] Câu 8. Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=1$ và $d=2$. Ta sẽ tính tổng của 3 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này. Bước 1: Xác định các số hạng đầu tiên của cấp số cộng. - Số hạng thứ nhất: $u_1 = 1$ - Số hạng thứ hai: $u_2 = u_1 + d = 1 + 2 = 3$ - Số hạng thứ ba: $u_3 = u_2 + d = 3 + 2 = 5$ Bước 2: Tính tổng của 3 số hạng đầu tiên. \[ S = u_1 + u_2 + u_3 = 1 + 3 + 5 = 9 \] Vậy tổng của 3 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là 9. Đáp án đúng là: A. 9. Câu 9. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình chóp đều S.ABCD, điểm G1 là trọng tâm của mặt đáy ABCD. Trọng tâm của một tứ giác đều nằm ở giao điểm của các đường chéo và cũng là trung điểm của mỗi đường chéo. Ta có: - Điểm O là giao điểm của AC và BD, tức là O là trung điểm của cả AC và BD. - Trọng tâm G1 của tứ giác ABCD sẽ nằm trên đường thẳng nối đỉnh S với O và chia đoạn SO theo tỉ số 1:3 (tức là G1 nằm cách S một phần tư chiều dài SO). Bây giờ, ta xét từng phương án: A. $\overrightarrow{AG_1} = \overrightarrow{AA_1} + \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ Phương án này không đúng vì $\overrightarrow{AA_1}$ không tồn tại trong ngữ cảnh này (nên thay bằng $\overrightarrow{AS}$). Hơn nữa, trọng tâm G1 không được xác định đúng theo công thức này. B. $\overrightarrow{AG_1} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AA_1} + \frac{2}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ Phương án này cũng không đúng vì $\overrightarrow{AA_1}$ không tồn tại và trọng tâm G1 không được xác định đúng theo công thức này. C. $\overrightarrow{AG_1} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AS} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ Phương án này đúng vì trọng tâm G1 của tứ giác ABCD được xác định bằng cách lấy trung bình cộng của các vectơ từ đỉnh A đến các đỉnh B, C và S. D. $\overrightarrow{AG_1} = \overrightarrow{AA} + \frac{2}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ Phương án này không đúng vì $\overrightarrow{AA}$ là vectơ null (vì A trùng với A) và trọng tâm G1 không được xác định đúng theo công thức này. Do đó, khẳng định sai là: A. $\overrightarrow{AG_1} = \overrightarrow{AA_1} + \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ B. $\overrightarrow{AG_1} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AA_1} + \frac{2}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ D. $\overrightarrow{AG_1} = \overrightarrow{AA} + \frac{2}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ Vậy đáp án là: A, B, D. Câu 3. Mặt phẳng $(P):~x-2z+2=0$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1,0,-2)$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n}=(1,0,-2)$. Đáp án đúng là: $\vec{n}=(1,0,-2)$. Câu 10. Để giải bất phương trình $(\frac{2}{3})^{2x-5} \geq \frac{2}{3}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Bất phương trình này không yêu cầu điều kiện xác định cụ thể vì nó chỉ liên quan đến lũy thừa của một số dương. 2. So sánh cơ số: - Cơ số của bất phương trình là $\frac{2}{3}$, một số nhỏ hơn 1. 3. Áp dụng tính chất của lũy thừa: - Ta biết rằng nếu cơ số nhỏ hơn 1 thì hàm số lũy thừa giảm dần. Do đó, để $(\frac{2}{3})^{2x-5} \geq \frac{2}{3}$, ta cần $2x - 5 \leq 1$. 4. Giải bất phương trình: \[ 2x - 5 \leq 1 \\ 2x \leq 6 \\ x \leq 3 \] 5. Kết luận tập nghiệm: - Tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty; 3]$. Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~(-\infty; 3]} \] Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về hàm số \( y = f(x) \) và hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đó. Tuy nhiên, dựa vào thông tin đã cung cấp, chúng ta sẽ tiếp cận bài toán theo cách sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên đoạn \([2;7]\). 2. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: - Để tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([2;7]\), chúng ta cần tính tích phân của hàm số \( f(x) \) từ \( x = 2 \) đến \( x = 7 \). 3. Tính tích phân: - Diện tích \( A \) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([2;7]\) được tính bằng công thức: \[ A = \int_{2}^{7} f(x) \, dx \] 4. Kết luận: - Kết quả của tích phân sẽ cho diện tích \( A \) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([2;7]\). Do không có thông tin cụ thể về hàm số \( f(x) \), chúng ta không thể tính toán cụ thể diện tích \( A \). Tuy nhiên, nếu biết được hàm số \( f(x) \), chúng ta có thể thực hiện các bước trên để tìm diện tích \( A \). Lời giải chi tiết: - Giả sử hàm số \( f(x) \) đã được cung cấp, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([2;7]\). 2. Tính tích phân của hàm số \( f(x) \) từ \( x = 2 \) đến \( x = 7 \): \[ A = \int_{2}^{7} f(x) \, dx \] 3. Kết luận diện tích \( A \) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([2;7]\). Đáp số: Diện tích \( A \) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([2;7]\) là \( \int_{2}^{7} f(x) \, dx \). Lưu ý: Để có đáp số cụ thể, cần biết hàm số \( f(x) \). Câu 11. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần 1: Xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1, -2, -3) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}(2, 5, -4)$ Phương trình đường thẳng trong không gian có dạng: \[ \frac{x - x_A}{u_x} = \frac{y - y_A}{u_y} = \frac{z - z_A}{u_z} \] Trong đó, $(x_A, y_A, z_A)$ là tọa độ điểm A và $(u_x, u_y, u_z)$ là các thành phần của vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$. Thay vào các giá trị: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z + 3}{-4} \] Vậy phương trình đường thẳng là: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z + 3}{-4} \] Phần 2: Xác định diện tích giữa hai đường thẳng $x = 2$ và $x = 7$ Để tính diện tích giữa hai đường thẳng $x = 2$ và $x = 7$, chúng ta cần biết hàm số $f(x)$ liên quan đến các đường thẳng này. Tuy nhiên, từ thông tin đã cho, chúng ta thấy rằng diện tích giữa hai đường thẳng này có thể được tính bằng cách sử dụng tích phân. Diện tích giữa hai đường thẳng $x = 2$ và $x = 7$ có thể được tính bằng công thức: \[ S = \pi \int_{2}^{7} f^2(x) \, dx \] Trong đó, $f(x)$ là hàm số liên quan đến các đường thẳng này. Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~S = \pi \int_{1}^{7} f^2(x) \, dx \] Kết luận: - Phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1, -2, -3) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}(2, 5, -4)$ là: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z + 3}{-4} \] - Diện tích giữa hai đường thẳng $x = 2$ và $x = 7$ là: \[ C.~S = \pi \int_{1}^{7} f^2(x) \, dx \] Câu 5. Để giải quyết yêu cầu của bạn, chúng ta cần xác định phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( A(1, -2, 4) \) và \( B(3, 3, 1) \). Phương trình này sẽ có dạng tham số hoặc dạng đối xứng. Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng Vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \( A \) và \( B \) là: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1, 3 + 2, 1 - 4) = (2, 5, -3) \] Bước 2: Viết phương trình đường thẳng Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(1, -2, 4) \) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{AB} = (2, 5, -3) \) có dạng đối xứng là: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 4}{-3} \] Kết luận Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( A(1, -2, 4) \) và \( B(3, 3, 1) \) là: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 4}{-3} \] Đáp án đúng là: \[ D.~\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z + 3}{-4} \] Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, đáp án đúng là: \[ D.~\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 4}{-3} \] Câu 12. Để giải phương trình $\log_2(3x-4)=3$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Điều kiện để $\log_2(3x-4)$ có nghĩa là: \[ 3x - 4 > 0 \] \[ 3x > 4 \] \[ x > \frac{4}{3} \] Bước 2: Giải phương trình Phương trình $\log_2(3x-4)=3$ có thể viết lại dưới dạng: \[ 3x - 4 = 2^3 \] \[ 3x - 4 = 8 \] \[ 3x = 12 \] \[ x = 4 \] Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định Ta thấy rằng $x = 4$ thỏa mãn điều kiện $x > \frac{4}{3}$. Vậy nghiệm của phương trình là $x = 4$.