giải chi tiết ạ

Câu 1. a) Vật ở vị trí cân bằng khi $x=0$. Ta có: \[ 3\cos\left(2t - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \] \[ \cos\left(2t - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \] Các giá trị của $\theta$ sao cho $\cos(\theta) = 0$ là $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. Do đó: \[ 2t - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ 2t = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + k\pi \] \[ 2t = \frac{3\pi + 2\pi}{6} + k\pi \] \[ 2t = \frac{5\pi}{6} + k\pi \] \[ t = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \] b) Vật cách vị trí cân bằng một khoảng lớn nhất khi $|x|$ đạt giá trị lớn nhất. Biểu thức dao động điều hòa $x = 3\cos(2t - \frac{\pi}{3})$ có biên độ là 3 cm. Do đó, khoảng cách lớn nhất từ vị trí cân bằng là 3 cm. c) Tần số góc $\omega$ của dao động điều hòa là 2 rad/s. Tần số dao động $f$ là: \[ f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{2}{2\pi} = \frac{1}{\pi} \text{ Hz} \] Thời gian dao động một chu kỳ là: \[ T = \frac{1}{f} = \pi \text{ s} \] Trong khoảng thời gian từ 0 đến 60 giây, số lần vật đi qua vị trí cân bằng là: \[ \text{Số lần đi qua vị trí cân bằng} = 2 \times \frac{60}{T} = 2 \times \frac{60}{\pi} \approx 38.197 \] Do đó, trong khoảng thời gian từ 0 đến 60 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 38 lần. d) Tại thời điểm $t = 10$ s, ta thay vào phương trình dao động: \[ x = 3\cos\left(2 \times 10 - \frac{\pi}{3}\right) \] \[ x = 3\cos\left(20 - \frac{\pi}{3}\right) \] \[ x = 3\cos\left(20 - 1.047\right) \] \[ x = 3\cos(18.953) \] Sử dụng máy tính để tính giá trị cos: \[ \cos(18.953) \approx -0.947 \] Do đó: \[ x \approx 3 \times (-0.947) \approx -2.841 \] Khoảng cách từ vật đến vị trí cân bằng là: \[ d = |x| \approx 2.841 \text{ cm} \] Đáp số: a) $t = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$ b) 3 cm c) 38 lần d) 2,84 cm Câu 2. a) Xe máy và ô tô cùng xuất phát từ A và B, tổng vận tốc là 40 + 60 = 100 km/h. Thời gian để hai xe gặp nhau là: \[ t = \frac{AB}{v_{tổng}} = \frac{\sqrt{(70-10)^2 + (85-5)^2}}{100} = \frac{\sqrt{60^2 + 80^2}}{100} = \frac{\sqrt{3600 + 6400}}{100} = \frac{\sqrt{10000}}{100} = \frac{100}{100} = 1 \text{ giờ} \] Vị trí M của xe máy sau 1 giờ là: \[ M = A + v_{xe máy} \times t = (10, 5, 0) + (40, 0, 0) \times 1 = (50, 5, 0) \] Do đó, drone phải di chuyển đến vị trí H có hình chiếu trên AB là M, tức là: \[ H = (50, 5, 0,1) \] b) Phương trình đường thẳng mô tả cho tuyến đường bay của drone là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 10 + 3t \\ y = 5 + 4t \quad (t \in \mathbb{R}) \\ z = 0,1 \end{array} \right. \] c) Khi tín hiệu gửi về trạm quan sát nhanh nhất, vị trí của drone là K. Ta cần tìm điểm K trên đường thẳng CD sao cho khoảng cách từ K đến I là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng CD là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 10 + 3t \\ y = 5 + 4t \quad (t \in \mathbb{R}) \\ z = 0,1 \end{array} \right. \] Khoảng cách từ K đến I là: \[ d(K, I) = \sqrt{(x_K - 20)^2 + (y_K - 65)^2 + (0,1 - 0,2)^2} \] \[ = \sqrt{(10 + 3t - 20)^2 + (5 + 4t - 65)^2 + (-0,1)^2} \] \[ = \sqrt{(3t - 10)^2 + (4t - 60)^2 + 0,01} \] Để khoảng cách này nhỏ nhất, ta tính đạo hàm và tìm giá trị của t: \[ f(t) = (3t - 10)^2 + (4t - 60)^2 + 0,01 \] \[ f'(t) = 2(3t - 10) \cdot 3 + 2(4t - 60) \cdot 4 = 0 \] \[ 6(3t - 10) + 8(4t - 60) = 0 \] \[ 18t - 60 + 32t - 480 = 0 \] \[ 50t - 540 = 0 \] \[ t = \frac{540}{50} = 10,8 \] Thay t = 10,8 vào phương trình đường thẳng: \[ x = 10 + 3 \cdot 10,8 = 42,4 \] \[ y = 5 + 4 \cdot 10,8 = 48,2 \] \[ z = 0,1 \] Vậy vị trí của drone là: \[ K = \left( \frac{212}{5}, \frac{241}{5}, 0,1 \right) \] d) Trạm quan sát I nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc nhỏ hơn 65°. Ta cần kiểm tra góc giữa đoạn thẳng AB và đường thẳng từ I đến trung điểm của AB. Trung điểm của AB là: \[ M = \left( \frac{10 + 70}{2}, \frac{5 + 85}{2}, 0 \right) = (40, 45, 0) \] Vectơ AB là: \[ \overrightarrow{AB} = (70 - 10, 85 - 5, 0) = (60, 80, 0) \] Vectơ MI là: \[ \overrightarrow{MI} = (20 - 40, 65 - 45, 0,2) = (-20, 20, 0,2) \] Tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MI}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{MI}|} \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MI} = 60 \cdot (-20) + 80 \cdot 20 + 0 \cdot 0,2 = -1200 + 1600 = 400 \] \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100 \] \[ |\overrightarrow{MI}| = \sqrt{(-20)^2 + 20^2 + 0,2^2} = \sqrt{400 + 400 + 0,04} = \sqrt{800,04} \approx 28,28 \] \[ \cos \theta = \frac{400}{100 \cdot 28,28} \approx \frac{400}{2828} \approx 0,1414 \] \[ \theta \approx \cos^{-1}(0,1414) \approx 81,87^\circ \] Vì góc này lớn hơn 65°, nên trạm quan sát I nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc nhỏ hơn 65° là sai. Câu 3. a) Xác suất để người được chọn ra thực sự mắc bệnh sởi là 9%. Số người thực sự mắc bệnh sởi là 900 người. Tổng số người được thử nghiệm là 10000 người. Xác suất để người được chọn ra thực sự mắc bệnh sởi là: \[ P(\text{mắc bệnh}) = \frac{900}{10000} = 0,09 = 9\% \] b) Trong thử nghiệm trên, bộ xét nghiệm bệnh sởi cho kết quả xét nghiệm đúng với hơn 85% số người có kết quả xét nghiệm dương tính. Trước tiên, chúng ta cần tính số người có kết quả xét nghiệm dương tính. - Số người mắc bệnh sởi và có kết quả xét nghiệm dương tính: \[ 900 \times 0,99 = 891 \text{ người} \] - Số người không mắc bệnh sởi và có kết quả xét nghiệm dương tính: \[ (10000 - 900) \times (1 - 0,98) = 9100 \times 0,02 = 182 \text{ người} \] Tổng số người có kết quả xét nghiệm dương tính: \[ 891 + 182 = 1073 \text{ người} \] Số người có kết quả xét nghiệm dương tính và thực sự mắc bệnh sởi: \[ 891 \text{ người} \] Xác suất để người có kết quả xét nghiệm dương tính thực sự mắc bệnh sởi: \[ P(\text{mắc bệnh} | \text{dương tính}) = \frac{891}{1073} \approx 0,8306 \] Do đó, bộ xét nghiệm bệnh sởi cho kết quả xét nghiệm đúng với hơn 85% số người có kết quả xét nghiệm dương tính là không chính xác vì 0,8306 < 0,85. c) Xác suất để người được chọn ra có kết quả xét nghiệm dương tính bằng 10,37%. Tổng số người có kết quả xét nghiệm dương tính đã tính ở phần b là 1073 người. Xác suất để người được chọn ra có kết quả xét nghiệm dương tính: \[ P(\text{dương tính}) = \frac{1073}{10000} = 0,1073 = 10,73\% \] Vậy, xác suất để người được chọn ra có kết quả xét nghiệm dương tính là 10,73%, không phải 10,37%. Đáp số: a) 9% b) Không chính xác c) 10,73%